Номер 83, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 83, страница 22.

Условие.

83. Как узнать, разлагается обыкновенная дробь в конечную или же в бесконечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной дроби, необходимо проанализировать ее знаменатель. Для этого существует четкий алгоритм.

Алгоритм определения:

1. Сократите дробь. Это обязательный первый шаг. Необходимо привести дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
2. Разложите знаменатель на простые множители. У полученной несократимой дроби нужно разложить знаменатель на простые множители.

Правило:

• Обыкновенная дробь разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя (после сокращения дроби) на простые множители содержатся только числа 2 и 5.
• Обыкновенная дробь разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя (после сокращения дроби) на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11, 13 и т. д.).

Примеры:

1. Дроби, разлагающиеся в конечную десятичную дробь

• Дробь $ \frac{3}{8} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. В разложении присутствует только множитель 2. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{3}{8} = 0.375 $.

• Дробь $ \frac{7}{20} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{7}{20} = 0.35 $.

• Дробь $ \frac{18}{150} $

  Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 18 и 150 равен 6. $ \frac{18}{150} = \frac{18 \div 6}{150 \div 6} = \frac{3}{25} $. Теперь разложим знаменатель 25: $25 = 5^2$. В разложении присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{18}{150} = 0.12 $.

2. Дроби, разлагающиеся в бесконечную десятичную дробь

• Дробь $ \frac{1}{3} $

  Дробь несократимая. Знаменатель 3 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $.

• Дробь $ \frac{5}{12} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6) $.

• Дробь $ \frac{4}{11} $

  Дробь несократимая. Знаменатель 11 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{4}{11} = 0.363636... = 0.(36) $.

Ответ: Чтобы узнать, разлагается ли обыкновенная дробь в конечную или бесконечную десятичную, нужно сначала полностью сократить эту дробь, а затем разложить ее знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если в разложении знаменателя есть хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь будет бесконечной периодической.