Номер 80, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 80, страница 22.

Условие.

80. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Чтобы понять, в каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную, необходимо сначала определить условие, при котором она разлагается.

Конечная десятичная дробь — это, по определению, дробь, которую можно представить со знаменателем, равным степени числа 10 (например, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и так далее). Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \times 5$. Это означает, что любая натуральная степень числа 10 будет состоять только из произведения простых множителей 2 и 5: $10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$.

Рассмотрим несократимую обыкновенную дробь вида $\frac{p}{q}$. Чтобы ее можно было преобразовать в конечную десятичную, мы должны иметь возможность привести ее к эквивалентной дроби со знаменателем $10^n$ путем домножения числителя и знаменателя на некоторое целое число. Это возможно тогда и только тогда, когда знаменатель $q$ исходной несократимой дроби уже состоит только из простых множителей 2 и 5 (то есть имеет вид $q=2^a \times 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа).

Из этого следует обратное правило: несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Например, рассмотрим дробь $\frac{5}{12}$. Эта дробь несократима. Ее знаменатель равен $12$. Разложим его на простые множители: $12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Поскольку в разложении знаменателя есть простой множитель 3, эту дробь невозможно представить в виде конечной десятичной. При делении мы получим бесконечную периодическую дробь: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$. Наличие множителя 3 не позволяет "превратить" знаменатель 12 в степень десяти путем умножения на целое число.

Другие примеры:

• $\frac{1}{3}$ (знаменатель 3) = $0.(3)$
• $\frac{4}{7}$ (знаменатель 7) = $0.(571428)$
• $\frac{2}{15}$ (знаменатель $15=3 \times 5$) = $0.1(3)$

Ответ: Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение ее знаменателя на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.