Номер 81, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 81, страница 22.

Условие.

81. Каким способом разлагается любая обыкновенная дробь в десятичную?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для того чтобы разложить (преобразовать) любую обыкновенную дробь вида $\frac{m}{n}$ в десятичную, необходимо разделить ее числитель $m$ на знаменатель $n$. Эта операция обычно выполняется делением в столбик.

Суть метода заключается в последовательном делении. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби равна нулю, и после него ставится запятая. Затем к числителю (как к первому остатку) дописывается ноль, и выполняется деление на знаменатель. Полученная цифра записывается после запятой. К новому остатку снова дописывается ноль, и процесс продолжается. Деление ведется до тех пор, пока остаток не станет равным нулю, либо пока последовательность остатков не начнет повторяться.

В зависимости от результата деления, получаемая десятичная дробь может быть двух видов:

Конечная десятичная дробь
Такая дробь получается в том случае, когда процесс деления на каком-то шаге заканчивается, то есть остаток становится равным нулю. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной только тогда, когда знаменатель несократимой дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{7}{20}$.
Делим 7 на 20. Так как 7 < 20, целая часть равна 0. Ставим запятую. Делим 70 на 20, получаем 3 и остаток 10. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 20, получаем 5 и остаток 0. Деление закончено.
Результат: $\frac{7}{20} = 0,35$.

Бесконечная периодическая десятичная дробь
Такая дробь получается, если остаток в процессе деления никогда не обращается в ноль. В этом случае остатки, а значит и цифры в частном, начинают циклически повторяться. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и при записи заключается в скобки. Это происходит, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители есть хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{2}{9}$.
Делим 2 на 9. Целая часть равна 0. Ставим запятую. Делим 20 на 9, получаем 2 и остаток 2. К остатку 2 снова приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 9, снова получаем 2 и остаток 2. Этот процесс будет продолжаться бесконечно.
Результат: $\frac{2}{9} = 0,222... = 0,(2)$.

Ответ: Любая обыкновенная дробь разлагается в десятичную путем деления ее числителя на знаменатель, в результате чего получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.