Номер 87, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 87, страница 22.

Условие.

87. Определите цифру сотого разряда после запятой в записи периодической дроби:

а) $0,(3)$;

б) $0,(25)$;

в) $0,(123)$;

г) $0,5(3)$;

д) $5,2(13)$;

е) $7,2(51)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) 0,(3);

Данная дробь $0,(3)$ является чистой периодической дробью. Её можно записать в виде $0,3333...$. Период дроби состоит из одной цифры «3». Это означает, что каждая цифра после запятой равна 3. Следовательно, цифра сотого разряда после запятой также будет 3.

Ответ: 3

б) 0,(25);

Данная дробь $0,(25)$ является чистой периодической дробью: $0,252525...$. Период дроби «25» состоит из двух цифр. Чтобы найти сотую цифру после запятой, нужно определить, какая из цифр периода будет стоять на сотом месте. Для этого найдем остаток от деления номера разряда (100) на длину периода (2).

$100 \div 2 = 50$ с остатком 0.

Если остаток равен 0, то искомая цифра — это последняя цифра периода. В периоде «25» последняя цифра — 5. Также можно заметить, что на нечетных местах стоят цифры 2, а на четных — 5. Так как 100 — четное число, на сотом месте стоит цифра 5.

Ответ: 5

в) 0,(123);

Данная дробь $0,(123)$ является чистой периодической дробью: $0,123123...$. Период дроби «123» состоит из трех цифр. Чтобы найти сотую цифру, разделим 100 на длину периода, то есть на 3:

$100 = 3 \times 33 + 1$.

Остаток от деления равен 1. Это означает, что на сотом месте будет стоять первая цифра периода. В периоде «123» первая цифра — 1.

Ответ: 1

г) 0,5(3);

Это смешанная периодическая дробь: $0,5333...$. В этой дроби есть одна цифра до периода — «5», она стоит на первом месте после запятой. Период «3» начинается со второго места. Мы ищем цифру на сотом месте. Так как $100 > 1$, эта цифра находится в периодической части. Периодическая часть состоит только из цифры 3. Следовательно, на сотом месте стоит цифра 3.

Ответ: 3

д) 5,2(13);

Это смешанная периодическая дробь: $5,2131313...$. После запятой стоит одна цифра «2» до периода (предпериод). Период «13» начинается со второй позиции после запятой и состоит из двух цифр. Нам нужно найти 100-ю цифру после запятой. Так как первая цифра непериодическая, нам нужно найти $(100 - 1) = 99$-ю цифру в последовательности, образованной периодом, то есть в «131313...».

Чтобы найти 99-ю цифру в этой последовательности, разделим 99 на длину периода 2:

$99 = 2 \times 49 + 1$.

Остаток равен 1. Это значит, что нам нужна первая цифра периода. Первая цифра периода «13» — это 1.

Ответ: 1

е) 7,2(51);

Это смешанная периодическая дробь: $7,2515151...$. После запятой стоит одна цифра «2» в предпериоде. Период «51» начинается со второй позиции после запятой и состоит из двух цифр. Нам нужно найти 100-ю цифру после запятой. Первая цифра — «2». Значит, нам нужно найти $(100 - 1) = 99$-ю цифру в периодической части «515151...».

Длина периода равна 2. Найдем остаток от деления 99 на 2:

$99 = 2 \times 49 + 1$.

Остаток равен 1. Это означает, что искомая цифра является первой цифрой периода «51». Первая цифра периода — это 5.

Ответ: 5