Номер 92, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 92, страница 26.

Условие.

92. Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби:

а) $ \frac{4}{9} $;

б) $ \frac{17}{25} $;

в) $ \frac{689}{4950} $;

г) $ \frac{5}{16} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{4}{9}$, нужно разделить числитель 4 на знаменатель 9. Выполняя деление столбиком, получаем: $4 \div 9 = 0$ с остатком 4. Далее, дописывая ноль, делим 40 на 9, получаем 4 с остатком 4. Этот процесс повторяется бесконечно, так как остаток 4 будет появляться на каждом шаге. Следовательно, в частном после запятой будет бесконечно повторяться цифра 4. Такая дробь называется бесконечной периодической, а её десятичное разложение записывается с использованием скобок для указания периода.
Ответ: $\frac{4}{9} = 0,(4)$

б) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{17}{25}$, можно привести знаменатель к степени числа 10. Знаменатель 25 является делителем числа 100 ($25 \times 4 = 100$). Умножим числитель и знаменатель дроби на 4, чтобы получить в знаменателе 100: $\frac{17}{25} = \frac{17 \times 4}{25 \times 4} = \frac{68}{100}$. Полученную дробь легко записать в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: $\frac{17}{25} = 0,68$

в) Для нахождения десятичного разложения дроби $\frac{689}{4950}$ выполним деление числителя 689 на знаменатель 4950 столбиком. $689 \div 4950 = 0$ (остаток 689). $6890 \div 4950 = 1$ (остаток $6890 - 4950 = 1940$). $19400 \div 4950 = 3$ (остаток $19400 - 14850 = 4550$). $45500 \div 4950 = 9$ (остаток $45500 - 44550 = 950$). $9500 \div 4950 = 1$ (остаток $9500 - 4950 = 4550$). На этом шаге мы видим, что остаток 4550 повторился. Это означает, что дальнейшее деление приведет к повторению последовательности цифр в частном. Таким образом, группа цифр 91 будет повторяться. Это смешанная периодическая дробь.
Ответ: $\frac{689}{4950} = 0,139191... = 0,13(91)$

г) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{5}{16}$, можно привести знаменатель к степени числа 10. Знаменатель $16 = 2^4$. Чтобы получить степень десяти ($10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$), нужно домножить знаменатель на $5^4$. Вычисляем $5^4 = 625$. Умножим числитель и знаменатель на 625: $\frac{5}{16} = \frac{5 \times 625}{16 \times 625} = \frac{3125}{2^4 \times 5^4} = \frac{3125}{10^4} = \frac{3125}{10000}$. Эта дробь записывается как конечная десятичная дробь 0,3125.
Ответ: $\frac{5}{16} = 0,3125$