Номер 91, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 91, страница 26.

Условие.

91. Запишите периодические дроби в виде обыкновенных дробей:

a) $1,(0)$; $0,(3)$; $0,(7)$;

б) $0,1(2)$; $1,12(3)$; $7,5(4)$;

в) $0,(12)$; $1,0(12)$; $8,7(21)$;

г) $23,5(0)$; $23,5(1)$; $23,5(13)$; $23,5(127)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для числа $1,(0)$:

Периодическая дробь $1,(0)$ означает $1,000...$, что является целым числом 1. В виде обыкновенной дроби это можно записать как $\frac{1}{1}$.

Ответ: $1$

Для числа $0,(3)$:

Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть период на одну цифру влево: $10x = 3,333...$

Вычтем исходное уравнение из полученного: $10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9}$

Сократим дробь: $x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Для числа $0,(7)$:

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$

Умножим обе части на 10: $10x = 7,777...$

Вычтем исходное уравнение: $10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

б)

Для числа $0,1(2)$:

Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$

Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части в дробной части: $10x = 1,222... = 1,(2)$

Умножим еще раз на 10, чтобы сдвинуть период: $100x = 12,222... = 12,(2)$

Вычтем первое уравнение из второго: $100x - 10x = 12,(2) - 1,(2)$

$90x = 11$

$x = \frac{11}{90}$

Ответ: $\frac{11}{90}$

Для числа $1,12(3)$:

Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$

Умножим на 100: $100x = 112,333... = 112,(3)$

Умножим на 1000: $1000x = 1123,333... = 1123,(3)$

Вычтем: $1000x - 100x = 1123,(3) - 112,(3)$

$900x = 1011$

$x = \frac{1011}{900}$

Сократим дробь на 3: $x = \frac{337}{300}$

Ответ: $\frac{337}{300}$

Для числа $7,5(4)$:

Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$

Умножим на 10: $10x = 75,444... = 75,(4)$

Умножим на 100: $100x = 754,444... = 754,(4)$

Вычтем: $100x - 10x = 754,(4) - 75,(4)$

$90x = 679$

$x = \frac{679}{90}$

Ответ: $\frac{679}{90}$

в)

Для числа $0,(12)$:

Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$

Умножим на 100 (так как в периоде 2 цифры): $100x = 12,121212... = 12,(12)$

Вычтем: $100x - x = 12,(12) - 0,(12)$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим на 3: $x = \frac{4}{33}$

Ответ: $\frac{4}{33}$

Для числа $1,0(12)$:

Пусть $x = 1,0(12) = 1,0121212...$

Умножим на 10: $10x = 10,121212... = 10,(12)$

Умножим на 1000: $1000x = 1012,121212... = 1012,(12)$

Вычтем: $1000x - 10x = 1012,(12) - 10,(12)$

$990x = 1002$

$x = \frac{1002}{990}$

Сократим на 6: $x = \frac{167}{165}$

Ответ: $\frac{167}{165}$

Для числа $8,7(21)$:

Пусть $x = 8,7(21) = 8,7212121...$

Умножим на 10: $10x = 87,212121... = 87,(21)$

Умножим на 1000: $1000x = 8721,212121... = 8721,(21)$

Вычтем: $1000x - 10x = 8721,(21) - 87,(21)$

$990x = 8634$

$x = \frac{8634}{990}$

Сократим на 6: $x = \frac{1439}{165}$

Ответ: $\frac{1439}{165}$

г)

Для числа $23,5(0)$:

Дробь $23,5(0)$ равна конечной десятичной дроби $23,5$.

$23,5 = 23\frac{5}{10} = 23\frac{1}{2} = \frac{47}{2}$

Ответ: $\frac{47}{2}$

Для числа $23,5(1)$:

Пусть $x = 23,5(1) = 23,5111...$

Умножим на 10: $10x = 235,111... = 235,(1)$

Умножим на 100: $100x = 2351,111... = 2351,(1)$

Вычтем: $100x - 10x = 2351,(1) - 235,(1)$

$90x = 2116$

$x = \frac{2116}{90}$

Сократим на 2: $x = \frac{1058}{45}$

Ответ: $\frac{1058}{45}$

Для числа $23,5(13)$:

Пусть $x = 23,5(13) = 23,5131313...$

Умножим на 10: $10x = 235,131313... = 235,(13)$

Умножим на 1000: $1000x = 23513,131313... = 23513,(13)$

Вычтем: $1000x - 10x = 23513,(13) - 235,(13)$

$990x = 23278$

$x = \frac{23278}{990}$

Сократим на 2: $x = \frac{11639}{495}$

Ответ: $\frac{11639}{495}$

Для числа $23,5(127)$:

Пусть $x = 23,5(127) = 23,5127127...$

Умножим на 10: $10x = 235,127127... = 235,(127)$

Умножим на 10000: $10000x = 235127,127127... = 235127,(127)$

Вычтем: $10000x - 10x = 235127,(127) - 235,(127)$

$9990x = 234892$

$x = \frac{234892}{9990}$

Сократим на 2: $x = \frac{117446}{4995}$

Ответ: $\frac{117446}{4995}$