Номер 94, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 94, страница 27.

Условие.

94. a) Является ли любое целое число рациональным?

б) Является ли любое рациональное число целым?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Да, любое целое число является рациональным. Согласно определению, рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
Возьмём произвольное целое число $z$. Его всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1:$z = \frac{z}{1}$В данном представлении числитель $m=z$ является целым числом, а знаменатель $n=1$ является натуральным числом. Следовательно, любое целое число удовлетворяет определению рационального числа. Множество всех целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел.
Ответ: да.

б) Нет, не любое рациональное число является целым. Утверждение "любое рациональное число является целым" — неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример) рационального числа, которое не является целым.
Рассмотрим, например, число $\frac{1}{2}$. Оно является рациональным, так как представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m=1$ (целое число) и $n=2$ (натуральное число).
Однако, значение этой дроби равно $0.5$, а это число не является целым. Так как мы нашли рациональное число, которое не является целым, исходное утверждение неверно. Другими примерами могут служить числа $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{5}$, $2\frac{1}{3}$.
Ответ: нет.