Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

94. a) Является ли любое целое число рациональным?

б) Является ли любое рациональное число целым?

а) Да, любое целое число является рациональным. Согласно определению, рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
Возьмём произвольное целое число $z$. Его всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1:$z = \frac{z}{1}$В данном представлении числитель $m=z$ является целым числом, а знаменатель $n=1$ является натуральным числом. Следовательно, любое целое число удовлетворяет определению рационального числа. Множество всех целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел.
Ответ: да.

б) Нет, не любое рациональное число является целым. Утверждение "любое рациональное число является целым" — неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример) рационального числа, которое не является целым.
Рассмотрим, например, число $\frac{1}{2}$. Оно является рациональным, так как представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m=1$ (целое число) и $n=2$ (натуральное число).
Однако, значение этой дроби равно $0.5$, а это число не является целым. Так как мы нашли рациональное число, которое не является целым, исходное утверждение неверно. Другими примерами могут служить числа $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{5}$, $2\frac{1}{3}$.
Ответ: нет.

95. В каком виде можно записать любое рациональное число?

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Математически эта форма записи выглядит так: $$ \frac{m}{n} $$

В данной формуле числитель $m$ является целым числом (то есть принадлежит множеству $\mathbb{Z}$, которое включает положительные, отрицательные целые числа и ноль), а знаменатель $n$ — натуральным числом (принадлежит множеству $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$). Это требование к знаменателю гарантирует, что он никогда не будет равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Примеры представления различных чисел в виде рациональной дроби:
• Целое число: $5 = \frac{5}{1}$
• Отрицательное целое число: $-3 = \frac{-3}{1}$
• Конечная десятичная дробь: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
• Бесконечная периодическая дробь: $0,(3) = 0,333\ldots = \frac{1}{3}$

Таким образом, все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются рациональными, так как их можно записать в указанном виде.

Ответ: Любое рациональное число можно записать в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

96. a) В результате каких действий с целыми числами всегда получается целое число?

б) В результате каких действий с рациональными числами всегда получается рациональное число?

а) Целые числа — это множество чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Проверим, какие из четырех основных арифметических действий, выполненных над двумя целыми числами, всегда приводят к целочисленному результату.

Сложение: Сумма двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $8 + (-3) = 5$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a+b) \in Z$.

Вычитание: Разность двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $5 - 12 = -7$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a-b) \in Z$.

Умножение: Произведение двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $(-4) \times (-6) = 24$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a \times b) \in Z$.

Деление: Частное от деления одного целого числа на другое не всегда является целым числом. Например, при делении $7$ на $2$ получается $3.5$, что не является целым числом. Таким образом, множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления.

Следовательно, целое число всегда получается в результате сложения, вычитания и умножения целых чисел.

Ответ: сложение, вычитание, умножение.

б) Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое ненулевое число. Пусть даны два рациональных числа $r_1 = \frac{a}{b}$ и $r_2 = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — целые числа, причем $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Сложение: $r_1 + r_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые, то числитель $(ad + bc)$ является целым числом, а знаменатель $(bd)$ — целым и ненулевым (так как $b \neq 0$ и $d \neq 0$). Значит, сумма всегда является рациональным числом.

Вычитание: $r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Аналогично сложению, результат разности всегда является рациональным числом.

Умножение: $r_1 \times r_2 = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Произведение $ac$ — целое число, а произведение $bd$ — целое ненулевое число. Результат умножения всегда является рациональным числом.

Деление: $r_1 : r_2 = \frac{a/b}{c/d}$, при условии, что делитель $r_2$ не равен нулю (то есть $c \neq 0$). Операция равна $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$. Числитель $ad$ — целое число, а знаменатель $bc$ — целое ненулевое число (так как $b \neq 0$ и $c \neq 0$). Следовательно, частное двух рациональных чисел (где делитель не ноль) всегда является рациональным числом.

Таким образом, в результате сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) рациональных чисел всегда получается рациональное число.

Ответ: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль).