Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

111. Какое число называют:

а) рациональным;

б) иррациональным;

в) действительным?

а) рациональным;

Рациональным числом (от лат. ratio — отношение, деление, дробь) называют число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

Любое рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби (например, $0,25 = \frac{1}{4}$), либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби (например, $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$). Целые числа также являются рациональными, так как любое целое число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $m = \frac{m}{1}$.

Ответ: Рациональным называют число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

б) иррациональным;

Иррациональным числом называют число, которое не является рациональным. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

В виде десятичной дроби иррациональные числа представляются как бесконечные непериодические дроби. Это значит, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и в ней нет повторяющейся группы цифр (периода).

Классическими примерами иррациональных чисел являются корень квадратный из двух $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$, число Пи $\pi \approx 3,14159265...$ (выражающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Эйлера $e \approx 2,71828182...$ (основание натурального логарифма).

Ответ: Иррациональным называют число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ (где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$); его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

в) действительным?

Действительным (или вещественным) числом называют любое число, которое является либо рациональным, либо иррациональным. Таким образом, множество действительных чисел представляет собой объединение множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел.

Множество действительных чисел обозначается символом $\mathbb{R}$.

Действительные числа можно представить точками на бесконечной числовой (координатной) прямой. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой прямой, и наоборот, каждой точке на прямой соответствует единственное действительное число.

Ответ: Действительным называют любое рациональное или иррациональное число. Совокупность всех действительных чисел полностью заполняет числовую прямую.

112. Что называют целой частью положительной бесконечной дроби?

Любая положительная бесконечная десятичная дробь представляет собой запись действительного числа $\alpha$ в виде $\alpha = a_0,a_1a_2a_3...$, где $a_0$ — это целое неотрицательное число, а $a_1, a_2, a_3, ...$ — последовательность десятичных знаков (цифры от 0 до 9).

Целой частью положительной бесконечной дроби $\alpha$ называется наибольшее целое число, которое не превосходит $\alpha$. Другими словами, это число, которое стоит в записи дроби слева от запятой. Если отбросить всю дробную часть (все цифры после запятой), то оставшееся число и будет целой частью.

В математике целая часть числа $\alpha$ обозначается как $[\alpha]$ или $\lfloor \alpha \rfloor$. Эта функция также известна как «антье» или «пол». По определению, для любого положительного числа $\alpha$ всегда выполняется неравенство: $[\alpha] \le \alpha < [\alpha] + 1$.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Для числа $\pi \approx 3,14159265...$ целой частью является число 3. Записывается это так: $[\pi] = 3$.

2. Для числа $e \approx 2,71828182...$ целой частью является число 2. То есть, $[e] = 2$.

3. Для дроби $\frac{8}{3} = 2,666...$ целой частью является число 2. То есть, $[\frac{8}{3}] = 2$.

4. Для дроби $\frac{1}{7} = 0,142857...$ целой частью является число 0. То есть, $[\frac{1}{7}] = 0$.

Таким образом, в общей записи положительной бесконечной дроби $\alpha = a_0,a_1a_2a_3...$ число $a_0$ и есть ее целая часть.

Ответ: Целой частью положительной бесконечной дроби называют число, стоящее в ее десятичной записи слева от запятой. С формальной точки зрения, это наибольшее целое число, которое не больше самой дроби.

113. Что называют абсолютной величиной действительного числа?

Определение

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа $a$ называется неотрицательное число, которое определяется следующим образом:
- если число $a$ неотрицательное (то есть $a \ge 0$), то его абсолютная величина равна самому числу $a$;
- если число $a$ отрицательное (то есть $a < 0$), то его абсолютная величина равна противоположному числу $-a$.

Формально определение абсолютной величины записывается с помощью системы: $$ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $$ Абсолютная величина числа $a$ обозначается символом $|a|$.

Геометрический смысл

Геометрически абсолютная величина действительного числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта (точки 0). Так как расстояние не может быть отрицательным, абсолютная величина любого числа всегда является неотрицательной.

Примеры

- Абсолютная величина числа 7 равна 7, так как 7 — положительное число: $|7| = 7$.
- Абсолютная величина числа -3 равна 3, так как -3 — отрицательное число, и противоположное ему число есть $-(-3) = 3$. Расстояние от -3 до 0 на числовой прямой равно 3. Запись: $|-3| = 3$.
- Абсолютная величина нуля равна нулю: $|0| = 0$.
- $| \pi - 3 | = \pi - 3$, так как $\pi \approx 3.14159$, и, следовательно, выражение $\pi - 3$ положительно.
- $| 1 - \sqrt{2} | = - (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, и, следовательно, выражение $1 - \sqrt{2}$ отрицательно.

Основные свойства абсолютной величины

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливы следующие свойства:
1. $|a| \ge 0$ (неотрицательность).
2. $|a| = 0$ тогда и только тогда, когда $a = 0$.
3. $|a| = |-a|$ (симметричность относительно нуля).
4. $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ (мультипликативность).
5. $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \neq 0$).
6. $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника).
7. $|a - b|$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ на координатной прямой.
8. $\sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа $a$ называют само число $a$, если оно неотрицательное ($a \ge 0$), или противоположное ему число $-a$, если оно отрицательное ($a < 0$). Геометрически это расстояние от точки, представляющей число $a$ на числовой прямой, до начала координат.

114. Какие числа называют противоположными?

Противоположные числа — это пара чисел, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но отличаются знаками. Они являются "зеркальным отражением" друг друга относительно нуля на числовой прямой.

Геометрическая интерпретация
На координатной прямой точки, соответствующие противоположным числам, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчета (точки 0), но в разных направлениях от него. Например, точка с координатой $5$ и точка с координатой $-5$ обе находятся на расстоянии 5 единичных отрезков от нуля.

Основные свойства
1. Для любого числа $a$ число, противоположное ему, обозначается как $-a$.
2. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$. Например, $12 + (-12) = 0$.
3. Число, противоположное положительному числу, является отрицательным. Например, для числа $8$ противоположным будет $-8$.
4. Число, противоположное отрицательному числу, является положительным. Это можно записать в виде формулы: $-(-a) = a$. Например, для числа $-15$ противоположным будет $-(-15) = 15$.
5. Единственное число, которое противоположно само себе, — это нуль, так как $0$ и $-0$ — это одно и то же число.

Примеры пар противоположных чисел
• $1$ и $-1$
• $34.7$ и $-34.7$
• $-\frac{2}{5}$ и $\frac{2}{5}$

Ответ: Противоположными называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком, а их модули (абсолютные величины) равны.

115. Как обозначают число, противоположное числу $a^2$?

По определению, противоположным для числа $a$ является такое число, которое в сумме с $a$ дает ноль. Противоположные числа отличаются друг от друга только знаком.

Если мы обозначим число, противоположное $a$, как $x$, то должно выполняться следующее равенство: $a + x = 0$

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения: $x = 0 - a$ $x = -a$

Таким образом, число, противоположное числу $a$, стандартно обозначается как $-a$. Это обозначение показывает, что для нахождения противоположного числа необходимо взять исходное число со знаком "минус".

Например:

• число, противоположное $5$, это $-5$;
• число, противоположное $-3$, это $-(-3) = 3$;
• число, противоположное $0$, это $-0 = 0$.

Ответ: $-a$

116. Если число обозначили $ -a $, то значит ли это, что оно отрицательное?

Нет, обозначение числа в виде $-a$ не означает, что это число обязательно является отрицательным. Знак этого выражения полностью зависит от знака самого числа $a$.

Выражение $-a$ означает число, противоположное числу $a$. Давайте рассмотрим все возможные случаи для значения $a$:

• Если $a$ — положительное число (математически это записывается как $a > 0$). В этом случае число $-a$ действительно будет отрицательным.
  Например, если $a = 5$, то $-a = -5$.
• Если $a$ — отрицательное число (математически это записывается как $a < 0$). В этом случае число $-a$ будет положительным, так как "минус на минус дает плюс".
  Например, если $a = -3$, то $-a = -(-3) = 3$.
• Если $a$ равно нулю (то есть $a = 0$). В этом случае число $-a$ также равно нулю ($ -0 = 0 $), а ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Таким образом, запись $-a$ сама по себе не говорит о знаке числа, а лишь указывает на операцию взятия противоположного значения для числа $a$.

Ответ: Нет, не значит. Число $-a$ является отрицательным только в том случае, если само число $a$ положительное. Если же $a$ — отрицательное число, то $-a$ будет положительным числом. Если $a = 0$, то $-a = 0$.