Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

135. Сформулируйте свойство транзитивности неравенств.

Свойство транзитивности неравенств (от лат. transitivus — переходный) устанавливает связь между тремя числами или величинами. Оно формулируется следующим образом: если первое число меньше второго, а второе число меньше третьего, то первое число также меньше третьего.

В математической форме для любых трех чисел $a$, $b$ и $c$ свойство транзитивности записывается так:

Если $a < b$ и $b < c$, то из этого следует, что $a < c$.

Это свойство справедливо для всех знаков неравенства:

• Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
• Если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$.
• Если $a \ge b$ и $b \ge c$, то $a \ge c$.

Геометрически это свойство легко проиллюстрировать на числовой оси. Если точка, соответствующая числу $a$, расположена левее точки, соответствующей числу $b$, а точка $b$, в свою очередь, расположена левее точки $c$, то очевидно, что точка $a$ будет расположена левее точки $c$.

Пример:
Возьмем числа 4, 9 и 15.
Нам известно, что $4 < 9$ (верно).
Также известно, что $9 < 15$ (верно).
Согласно свойству транзитивности, мы можем сделать вывод, что $4 < 15$, что также является верным неравенством.

Ответ: Свойство транзитивности неравенств гласит, что если для трех чисел $a$, $b$ и $c$ выполняются неравенства $a < b$ и $b < c$, то выполняется и неравенство $a < c$. Это свойство справедливо для всех знаков неравенств ($<, >, \le, \ge$).

136. Сохранится ли неравенство, если:

а) к обеим его частям прибавить действительное число;

б) обе его части умножить на положительное число;

в) обе его части умножить на нуль или отрицательное число?

Приведите примеры.

а) к обеим его частям прибавить действительное число;
Да, неравенство сохранится. Согласно одному из основных свойств числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же действительное число, то знак неравенства не изменится.
Формально: если $a > b$ и $c$ — любое действительное число, то $a + c > b + c$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $5 > 2$. Прибавим к обеим его частям число $3$:
$5 + 3 > 2 + 3$
$8 > 5$ (верно).
Теперь прибавим к обеим частям исходного неравенства отрицательное число $-4$:
$5 + (-4) > 2 + (-4)$
$1 > -2$ (верно).
Ответ: да, неравенство сохранится.

б) обе его части умножить на положительное число;
Да, неравенство сохранится. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Формально: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $10 > 4$. Умножим обе его части на положительное число $3$:
$10 \cdot 3 > 4 \cdot 3$
$30 > 12$ (верно).
Ответ: да, неравенство сохранится.

в) обе его части умножить на нуль или отрицательное число?
Нет, неравенство не сохранится. Здесь нужно рассмотреть два случая:
1. Умножение на нуль. При умножении обеих частей неравенства на нуль, они обе становятся равными нулю. Таким образом, любое строгое неравенство ($>$ или <) превращается в неверное утверждение, а нестрогое ($\ge$ или $\le$) — в верное равенство.
Пример:
Возьмем верное неравенство $7 > -1$. Умножим обе части на $0$:
$7 \cdot 0 > -1 \cdot 0$
$0 > 0$ (неверно). Исходное неравенство не сохранилось, а превратилось в равенство $0 = 0$.
2. Умножение на отрицательное число. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на <, < на $>$, $\ge$ на $\le$, $\le$ на $\ge$).
Формально: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $5 > 3$. Умножим обе части на $-2$. Если мы сохраним знак, получим $5 \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$, что равносильно $-10 > -6$ (неверно). Чтобы неравенство осталось верным, нужно поменять его знак на противоположный:
$5 \cdot (-2) < 3 \cdot (-2)$
$-10 < -6$ (верно).
Ответ: нет, не сохранится. При умножении на нуль неравенство обращается в равенство, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

137. Сформулируйте:

а) переместительный закон сложения;

б) переместительный закон умножения;

в) сочетательный закон сложения;

г) сочетательный закон умножения;

д) распределительный закон.

а) переместительный закон сложения;

Переместительный (или коммутативный) закон сложения гласит, что при сложении двух или более чисел их можно менять местами, и результат от этого не изменится. Иначе говоря, от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: $a + b = b + a$

б) переместительный закон умножения;

Переместительный (или коммутативный) закон умножения гласит, что при умножении двух или более чисел их можно менять местами, и произведение останется прежним. Другими словами, от перестановки мест множителей произведение не меняется.

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

в) сочетательный закон сложения;

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения утверждает, что при сложении трех и более чисел порядок выполнения действий (расстановки скобок) не влияет на конечный результат. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

г) сочетательный закон умножения;

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения утверждает, что при умножении трех и более чисел результат не зависит от порядка выполнения действий (расстановки скобок). Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

д) распределительный закон.

Распределительный (или дистрибутивный) закон связывает операции умножения и сложения. Он гласит, что для умножения числа на сумму двух других чисел можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты. Этот закон также называют распределительным законом умножения относительно сложения.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

138. а) Что получится, если к числу прибавить $0$?

б) Чему равна сумма противоположных чисел?

в) Можно ли разность $a - b$ записать в виде суммы?

г) Что получится, если число умножить на $1$; $-1$; $0$?

д) Какое число называют обратным к числу $a$ ($a \neq 0$)?

е) Какие числа называют взаимно обратными?

ж) Чему равно произведение двух взаимно обратных чисел?

а) Если к любому числу, которое мы обозначим как $a$, прибавить 0, то число не изменится. Это свойство нуля называется свойством нейтрального элемента по сложению. Математически это записывается так: $a + 0 = a$.
Ответ: получится то же самое число.

б) Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Например, для числа $a$ противоположным будет число $-a$. Их сумма всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$.
Ответ: сумма противоположных чисел равна 0.

в) Да, можно. Вычитание числа $b$ из числа $a$ — это то же самое, что и прибавление к числу $a$ числа, противоположного $b$. Таким образом, разность $a - b$ можно представить в виде суммы: $a + (-b)$.
Ответ: да, можно, в виде суммы $a + (-b)$.

г) Пусть есть некоторое число $a$. Рассмотрим каждый случай:
1. При умножении на 1 число не изменяется, так как 1 является нейтральным элементом по умножению: $a \cdot 1 = a$.
2. При умножении на -1 число меняет свой знак на противоположный: $a \cdot (-1) = -a$.
3. При умножении на 0 всегда получается 0: $a \cdot 0 = 0$.
Ответ: при умножении на 1 получится то же самое число; при умножении на -1 – противоположное число; при умножении на 0 – получится 0.

д) Обратным к числу $a$ (где $a \neq 0$) называют такое число, произведение которого на $a$ равно 1. Это число записывается как $\frac{1}{a}$ или $a^{-1}$. Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как на ноль делить нельзя.
Ответ: число $\frac{1}{a}$.

е) Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1. Если числа $a$ и $b$ (оба не равны нулю) таковы, что $a \cdot b = 1$, то их называют взаимно обратными. Например, числа 5 и $\frac{1}{5}$ являются взаимно обратными, так как $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$.
Ответ: два числа, произведение которых равно 1.

ж) Это следует прямо из определения взаимно обратных чисел. Если два числа являются взаимно обратными, то их произведение по определению равно 1.
Ответ: произведение двух взаимно обратных чисел равно 1.