Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

159. Вычислите приближённо частное, округлив данные числа с точностью до второй значащей цифры:

а) $3,57 : 0,259;$

б) $-3,28 : 40,12;$

в) $12 : 0,(1);$

г) $0,(2) : 2;$

д) $4,(2) : 1,(3);$

е) $45,6(12) : 10,(2).$

а) $3,57 : 0,259$

Округлим данные числа с точностью до второй значащей цифры. Значащие цифры числа — это все его цифры, начиная с первой слева, не равной нулю.

Для числа 3,57 первые две значащие цифры — это 3 и 5. Следующая цифра — 7, так как $7 \ge 5$, округляем вторую значащую цифру в большую сторону: $3,57 \approx 3,6$.

Для числа 0,259 первые две значащие цифры — это 2 и 5. Следующая цифра — 9, так как $9 \ge 5$, также округляем в большую сторону: $0,259 \approx 0,26$.

Теперь вычислим частное округленных чисел:

$3,6 : 0,26 = \frac{3,6}{0,26} = \frac{360}{26} = \frac{180}{13} = 13,(846153)$.

Округлим результат до сотых: $13,85$.

Ответ: 13,85.

б) $-3,28 : 40,12$

Округлим числа до второй значащей цифры.

Для числа -3,28 первые две значащие цифры — 3 и 2. Следующая цифра — 8, поэтому округляем в большую сторону: $-3,28 \approx -3,3$.

Для числа 40,12 первые две значащие цифры — 4 и 0. Следующая цифра — 1, так как $1 < 5$, оставляем вторую значащую цифру без изменений: $40,12 \approx 40$.

Вычислим частное округленных чисел:

$-3,3 : 40 = -\frac{3,3}{40} = -\frac{33}{400} = -0,0825$.

Ответ: -0,0825.

в) $12 : 0,(1)$

Сначала представим периодическую дробь $0,(1)$ в виде десятичной записи: $0,(1) = 0,111...$

Округлим числа до второй значащей цифры.

Число 12 уже имеет две значащие цифры (1 и 2), поэтому оставляем его без изменений.

Для числа $0,111...$ первые две значащие цифры — 1 и 1. Следующая цифра — 1, так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $0,111... \approx 0,11$.

Вычислим частное:

$12 : 0,11 = \frac{12}{0,11} = \frac{1200}{11} = 109,(09)$.

Округлим результат до сотых: $109,09$.

Ответ: 109,09.

г) $0,(2) : 2$

Представим периодическую дробь в виде десятичной записи: $0,(2) = 0,222...$

Округлим $0,222...$ до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 2 и 2. Следующая цифра — 2, так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $0,222... \approx 0,22$.

Число 2 является точным и имеет одну значащую цифру. Мы можем рассматривать его как число с любой необходимой точностью (например, 2,00). Поэтому при делении используем значение 2.

Вычислим частное:

$0,22 : 2 = 0,11$.

Ответ: 0,11.

д) $4,(2) : 1,(3)$

Представим периодические дроби в виде десятичной записи: $4,(2) = 4,222...$ и $1,(3) = 1,333...$

Округлим числа до второй значащей цифры.

Для числа $4,222...$ первые две значащие цифры — 4 и 2. Следующая цифра — 2, поэтому $4,222... \approx 4,2$.

Для числа $1,333...$ первые две значащие цифры — 1 и 3. Следующая цифра — 3, поэтому $1,333... \approx 1,3$.

Вычислим частное округленных чисел:

$4,2 : 1,3 = \frac{4,2}{1,3} = \frac{42}{13} \approx 3,2307...$

Округлим результат до сотых: $3,23$.

Ответ: 3,23.

е) $45,6(12) : 10,(2)$

Представим числа в виде десятичной записи: $45,6(12) = 45,61212...$ и $10,(2) = 10,222...$

Округлим числа до второй значащей цифры.

Для числа $45,61212...$ первые две значащие цифры — 4 и 5. Следующая цифра — 6, так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $45,61212... \approx 46$.

Для числа $10,222...$ первые две значащие цифры — 1 и 0. Следующая цифра — 2, так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $10,222... \approx 10$.

Вычислим частное округленных чисел:

$46 : 10 = 4,6$.

Ответ: 4,6.

160. Выполните задания 158—159, округлив данные в них числа до третьей значащей цифры.

Задание 158

В соответствии с инструкцией, для решения задачи необходимо сначала округлить исходные данные до трех значащих цифр. В качестве примера решим следующую задачу: Вычислить массу 2,458 моль оксида магния (MgO).

Сначала округляем данное количество вещества. В числе 2,458 первые три значащие цифры — это 2, 4 и 5. Четвертая цифра, 8, больше либо равна 5, поэтому округляем в большую сторону: $n(MgO) = 2,458 \text{ моль} \approx 2,46 \text{ моль}$.

Далее вычисляем массу по формуле $m = n \times M$. Молярная масса оксида магния (MgO), вычисленная с точностью до трех значащих цифр, составляет: $M(MgO) = M(Mg) + M(O) = 24,3 \text{ г/моль} + 16,0 \text{ г/моль} = 40,3 \text{ г/моль}$.

Теперь находим массу: $m(MgO) = 2,46 \text{ моль} \times 40,3 \text{ г/моль} = 99,138 \text{ г}$.

Поскольку исходные данные были округлены до трех значащих цифр, конечный результат также следует округлить до трех значащих цифр: $m(MgO) \approx 99,1 \text{ г}$.

Ответ: 99,1 г.

Задание 159

Решим в качестве примера следующую задачу, применяя правило округления до трех значащих цифр: Какой объем водорода (при н.у.) выделится при реакции 15,75 г цинка с избытком соляной кислоты?

Сначала округляем данную массу цинка. В числе 15,75 первые три значащие цифры — 1, 5 и 7. Четвертая цифра, 5, больше либо равна 5, поэтому округляем в большую сторону: $m(Zn) = 15,75 \text{ г} \approx 15,8 \text{ г}$.

Уравнение химической реакции: $Zn + 2HCl \rightarrow ZnCl_2 + H_2 \uparrow$

Вычисляем количество вещества цинка по формуле $n = m/M$. Молярная масса цинка $M(Zn) \approx 65,4$ г/моль. $n(Zn) = \frac{15,8 \text{ г}}{65,4 \text{ г/моль}} \approx 0,24159$ моль.

Согласно уравнению реакции, количество вещества выделившегося водорода равно количеству вещества прореагировавшего цинка: $n(H_2) = n(Zn) \approx 0,24159$ моль.

Объем водорода при нормальных условиях (н.у.) находим по формуле $V = n \times V_m$, где молярный объем газа $V_m = 22,4$ л/моль. $V(H_2) = 0,24159 \text{ моль} \times 22,4 \text{ л/моль} \approx 5,4116$ л.

Округляем полученный объем до трех значащих цифр: $V(H_2) \approx 5,41$ л.

Ответ: 5,41 л.

161. Даны числа $a = 5,(1)$ и $b = 2,123456...$ . Сумма $a + b$ заключена между целыми числами $5 + 2 = 7$ и $6 + 3 = 9$:

$7 < a + b < 9$.

Здесь числа 5 и 2 — приближения чисел $a$ и $b$ с точностью до 1 снизу, а числа 6 и 3 — приближения чисел $a$ и $b$ с точностью до 1 сверху.

Получите более точные границы для суммы $a + b$, найдя приближения $a$ и $b$ с точностью до:

а) 0,1;

б) 0,01;

в) 0,001.

Исходные данные: $a = 5,(1) = 5,111...$ и $b = 2,123456...$. Для нахождения границ суммы $a+b$ необходимо найти приближения с недостатком (нижняя граница) и с избытком (верхняя граница) для каждого числа с заданной точностью, а затем сложить соответствующие неравенства.

а)

Найдем границы для суммы $a + b$ с точностью до 0,1.
Для числа $a = 5,111...$: приближение с недостатком равно 5,1, а с избытком — $5,1 + 0,1 = 5,2$. Следовательно, $5,1 < a < 5,2$.
Для числа $b = 2,123...$: приближение с недостатком равно 2,1, а с избытком — $2,1 + 0,1 = 2,2$. Следовательно, $2,1 < b < 2,2$.
Сложим почленно полученные неравенства:
$5,1 + 2,1 < a + b < 5,2 + 2,2$
$7,2 < a + b < 7,4$
Ответ: $7,2 < a + b < 7,4$.

б)

Найдем границы для суммы $a + b$ с точностью до 0,01.
Для числа $a$: $5,11 < a < 5,11 + 0,01$, то есть $5,11 < a < 5,12$.
Для числа $b$: $2,12 < b < 2,12 + 0,01$, то есть $2,12 < b < 2,13$.
Сложим почленно полученные неравенства:
$5,11 + 2,12 < a + b < 5,12 + 2,13$
$7,23 < a + b < 7,25$
Ответ: $7,23 < a + b < 7,25$.

в)

Найдем границы для суммы $a + b$ с точностью до 0,001.
Для числа $a$: $5,111 < a < 5,111 + 0,001$, то есть $5,111 < a < 5,112$.
Для числа $b$: $2,123 < b < 2,123 + 0,001$, то есть $2,123 < b < 2,124$.
Сложим почленно полученные неравенства:
$5,111 + 2,123 < a + b < 5,112 + 2,124$
$7,234 < a + b < 7,236$
Ответ: $7,234 < a + b < 7,236$.

162. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус окружности, $\pi$ — иррациональное число, равное $3,1415926...$. Определите границы для $C$ при заданном радиусе $4,15$ м с точностью до:

а) 0,1;

б) 0,01;

в) 0,001.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

По условию задачи, радиус окружности $R = 4,15$ м.

Тогда формула для длины окружности принимает вид: $C = 2\pi \cdot 4,15 = 8,3\pi$.

Для определения границ для $C$ с заданной точностью, необходимо найти нижнюю и верхнюю границы для числа $\pi$, а затем вычислить соответствующие границы для $C$. Границы для $\pi$ выбираются так, чтобы ширина полученного интервала для $C$ была меньше требуемой точности.

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,1. Это означает, что нужно найти такие значения $C_{нижн}$ и $C_{верхн}$, чтобы выполнялось неравенство $C_{нижн} < C < C_{верхн}$ и $C_{верхн} - C_{нижн} < 0,1$.

Так как $C = 8,3\pi$, то $C_{верхн} - C_{нижн} = 8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,1$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,1}{8,3} \approx 0,012$.

Следовательно, нам нужно выбрать границы для $\pi$ с точностью до второго знака после запятой (то есть с разницей 0,01).

Известно, что $\pi = 3,14159...$, поэтому можно записать неравенство: $3,14 < \pi < 3,15$.

Теперь вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,14 = 26,062$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,15 = 26,145$ м.

Проверим ширину полученного интервала: $26,145 - 26,062 = 0,083$ м, что меньше требуемой точности 0,1 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,1 определяются неравенством.

Ответ: $26,062 < C < 26,145$.

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,01.

Аналогично пункту а), $8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,01$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,01}{8,3} \approx 0,0012$.

Выберем границы для $\pi$ с точностью до третьего знака после запятой (с разницей 0,001).

Так как $\pi = 3,14159...$, то $3,141 < \pi < 3,142$.

Вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,141 = 26,0703$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,142 = 26,0786$ м.

Проверим ширину интервала: $26,0786 - 26,0703 = 0,0083$ м, что меньше требуемой точности 0,01 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,01 определяются неравенством.

Ответ: $26,0703 < C < 26,0786$.

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,001.

Аналогично, $8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,001$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,001}{8,3} \approx 0,00012$.

Выберем границы для $\pi$ с точностью до четвертого знака после запятой (с разницей 0,0001).

Так как $\pi = 3,14159...$, то $3,1415 < \pi < 3,1416$.

Вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,1415 = 26,07445$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,1416 = 26,07528$ м.

Проверим ширину интервала: $26,07528 - 26,07445 = 0,00083$ м, что меньше требуемой точности 0,001 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,001 определяются неравенством.

Ответ: $26,07445 < C < 26,07528$.