Номер 162, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.5. Приближения чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 162, страница 42.

Условие.

162. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус окружности, $\pi$ — иррациональное число, равное $3,1415926...$. Определите границы для $C$ при заданном радиусе $4,15$ м с точностью до:

а) 0,1;

б) 0,01;

в) 0,001.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

По условию задачи, радиус окружности $R = 4,15$ м.

Тогда формула для длины окружности принимает вид: $C = 2\pi \cdot 4,15 = 8,3\pi$.

Для определения границ для $C$ с заданной точностью, необходимо найти нижнюю и верхнюю границы для числа $\pi$, а затем вычислить соответствующие границы для $C$. Границы для $\pi$ выбираются так, чтобы ширина полученного интервала для $C$ была меньше требуемой точности.

а)

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,1. Это означает, что нужно найти такие значения $C_{нижн}$ и $C_{верхн}$, чтобы выполнялось неравенство $C_{нижн} < C < C_{верхн}$ и $C_{верхн} - C_{нижн} < 0,1$.

Так как $C = 8,3\pi$, то $C_{верхн} - C_{нижн} = 8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,1$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,1}{8,3} \approx 0,012$.

Следовательно, нам нужно выбрать границы для $\pi$ с точностью до второго знака после запятой (то есть с разницей 0,01).

Известно, что $\pi = 3,14159...$, поэтому можно записать неравенство: $3,14 < \pi < 3,15$.

Теперь вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,14 = 26,062$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,15 = 26,145$ м.

Проверим ширину полученного интервала: $26,145 - 26,062 = 0,083$ м, что меньше требуемой точности 0,1 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,1 определяются неравенством.

Ответ: $26,062 < C < 26,145$.

б)

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,01.

Аналогично пункту а), $8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,01$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,01}{8,3} \approx 0,0012$.

Выберем границы для $\pi$ с точностью до третьего знака после запятой (с разницей 0,001).

Так как $\pi = 3,14159...$, то $3,141 < \pi < 3,142$.

Вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,141 = 26,0703$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,142 = 26,0786$ м.

Проверим ширину интервала: $26,0786 - 26,0703 = 0,0083$ м, что меньше требуемой точности 0,01 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,01 определяются неравенством.

Ответ: $26,0703 < C < 26,0786$.

в)

Требуется определить границы для $C$ с точностью до 0,001.

Аналогично, $8,3(\pi_{верхн} - \pi_{нижн}) < 0,001$.

Отсюда, $\pi_{верхн} - \pi_{нижн} < \frac{0,001}{8,3} \approx 0,00012$.

Выберем границы для $\pi$ с точностью до четвертого знака после запятой (с разницей 0,0001).

Так как $\pi = 3,14159...$, то $3,1415 < \pi < 3,1416$.

Вычислим границы для $C$:

Нижняя граница: $C_{нижн} = 8,3 \cdot 3,1415 = 26,07445$ м.

Верхняя граница: $C_{верхн} = 8,3 \cdot 3,1416 = 26,07528$ м.

Проверим ширину интервала: $26,07528 - 26,07445 = 0,00083$ м, что меньше требуемой точности 0,001 м.

Таким образом, границы для длины окружности $C$ с точностью до 0,001 определяются неравенством.

Ответ: $26,07445 < C < 26,07528$.