Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

88. Какие обыкновенные дроби разлагаются в периодические дроби:

а) с периодом $0$;

б) с периодом, отличным от $0$?

а) с периодом 0;

Периодическая дробь с периодом 0 — это другое название для конечной десятичной дроби. Например, число $0,25$ можно записать как $0,25000...$ или $0,25(0)$.

Обыкновенная несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ может быть представлена в виде конечной десятичной дроби (а значит, и периодической с периодом 0) тогда и только тогда, когда в разложении ее знаменателя $n$ на простые множители не содержится никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Таким образом, знаменатель $n$ должен иметь вид $n = 2^k \cdot 5^l$, где $k$ и $l$ являются целыми неотрицательными числами.

Примеры:

• $\frac{3}{4} = 0,75 = 0,75(0)$. Знаменатель $4 = 2^2$.
• $\frac{7}{20} = 0,35 = 0,35(0)$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$.
• $\frac{11}{50} = 0,22 = 0,22(0)$. Знаменатель $50 = 2 \cdot 5^2$.

Ответ: В периодические дроби с периодом 0 разлагаются несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых при разложении на простые множители содержат только степени чисел 2 и 5.

б) с периодом, отличным от 0;

Периодическая дробь с периодом, отличным от 0, — это бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр после запятой повторяются в определенной последовательности. Например, $0,(3)$ или $0,1(6)$.

Обыкновенная несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ разлагается в бесконечную периодическую дробь (с периодом, отличным от 0) тогда и только тогда, когда в разложении ее знаменателя $n$ на простые множители содержится хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Примеры:

• $\frac{1}{3} = 0,(3)$. Знаменатель 3, который отличен от 2 и 5.
• $\frac{5}{6} = 0,8(3)$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Присутствует множитель 3.
• $\frac{4}{7} = 0,(571428)$. Знаменатель 7, который отличен от 2 и 5.

Ответ: В периодические дроби с периодом, отличным от 0, разлагаются несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых при разложении на простые множители содержат хотя бы один простой множитель, не равный 2 или 5.

89. Может ли период десятичного разложения обыкновенной дроби $6/7$ содержать 8 цифр?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо понять, как формируется и от чего зависит длина периода десятичного разложения обыкновенной дроби.

Длина периода десятичного разложения несократимой обыкновенной дроби $ \frac{p}{q} $ (где $p$ и $q$ — взаимно простые числа, а знаменатель $q$ не содержит простых множителей 2 и 5) определяется исключительно знаменателем $q$. Процесс получения десятичного разложения эквивалентен делению числителя на знаменатель "в столбик".

На каждом шаге деления мы получаем некоторый остаток. Этот остаток не может быть равен нулю (иначе дробь была бы конечной) и не может быть равен или больше знаменателя. Таким образом, при делении на число $q$ возможные ненулевые остатки — это целые числа от $1$ до $q-1$. Всего таких возможных остатков $q-1$.

Как только один из остатков повторится, последовательность цифр в частном также начнет повторяться, образуя период. Поскольку количество возможных остатков ограничено числом $q-1$, повторение неизбежно произойдет не более чем через $q-1$ шагов.

Из этого следует фундаментальное правило: длина периода десятичного разложения несократимой дроби $ \frac{p}{q} $ всегда меньше, чем ее знаменатель $q$.

Теперь применим это правило к дроби $ \frac{6}{7} $:

• Дробь $ \frac{6}{7} $ является несократимой, так как наибольший общий делитель чисел 6 и 7 равен 1.
• Знаменатель дроби $q=7$.

Согласно правилу, максимальная возможная длина периода для этой дроби равна $q-1 = 7-1 = 6$. Следовательно, период десятичного разложения дроби $ \frac{6}{7} $ не может содержать 8 цифр, так как $8 > 6$.

Для полной уверенности, найдем само десятичное разложение, выполнив деление 6 на 7:
$ 6 \div 7 = 0.857142857... = 0.(857142) $
Периодом является последовательность цифр "857142", и его длина действительно равна 6.

Ответ: Нет, не может. Длина периода десятичного разложения несократимой дроби $ \frac{p}{q} $ всегда меньше ее знаменателя $q$. Для дроби $ \frac{6}{7} $ знаменатель равен 7, поэтому максимальная возможная длина периода составляет $7-1=6$ цифр. Число 8 больше 6, поэтому период не может содержать 8 цифр.