Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

71. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее можно привести к дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. То есть, к дроби вида $\frac{A}{10^n}$, где $A$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Рассмотрим основание десятичной системы счисления — число 10. Его разложение на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Соответственно, любая степень числа 10 будет в своем разложении содержать только эти простые множители: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$.

Пусть у нас есть несократимая дробь $\frac{p}{q}$. Чтобы ее можно было превратить в конечную десятичную, мы должны иметь возможность привести ее к знаменателю $10^n$, умножив числитель и знаменатель на некоторое целое число $k$. То есть, $q \cdot k = 10^n$.
Это возможно только в том случае, если знаменатель $q$ уже состоит из простых множителей 2 и 5. Если в разложении знаменателя $q$ присутствует какой-либо другой простой множитель (например, 3, 7, 11 и т.д.), то никаким умножением на целое число $k$ мы не сможем от него избавиться и получить в знаменателе только 2 и 5. Так как дробь несократимая, этот множитель нельзя сократить с числителем.

Таким образом, для того чтобы несократимая обыкновенная дробь разлагалась в конечную десятичную, ее знаменатель должен иметь в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5.

Примеры

1. Дробь $\frac{7}{8}$. Дробь несократимая. Знаменатель $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только простой множитель 2. Дробь является конечной десятичной: $\frac{7}{8} = 0.875$.

2. Дробь $\frac{13}{40}$. Дробь несократимая. Знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении знаменателя содержатся только простые множители 2 и 5. Дробь является конечной десятичной: $\frac{13}{40} = 0.325$.

3. Дробь $\frac{1}{3}$. Дробь несократимая. Знаменатель равен 3. В разложении присутствует простой множитель 3. Дробь не является конечной десятичной, она периодическая: $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

4. Дробь $\frac{5}{12}$. Дробь несократимая. Знаменатель $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3. Дробь не является конечной десятичной, она периодическая: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Чтобы обыкновенная несократимая дробь разлагалась в конечную десятичную дробь, её знаменатель не должен иметь никаких других простых делителей, кроме 2 и 5.

72. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную двумя основными способами. Выбор способа часто зависит от вида знаменателя дроби.

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10

Этот способ подходит для дробей, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно, если знаменатель несократимой дроби в своем разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5. Суть метода заключается в том, чтобы домножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. (то есть $10^n$).

Пример 1:

Преобразуем дробь $ \frac{3}{4} $. Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе степень десяти ($10^n = 2^n \cdot 5^n$), нужно домножить его на $5^2 = 25$.

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 $

Пример 2:

Преобразуем дробь $ \frac{7}{20} $. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$. Чтобы степени двоек и пятерок совпали, нужно домножить числитель и знаменатель на 5.

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35 $

Ответ: домножить числитель и знаменатель дроби на такой дополнительный множитель, чтобы знаменатель стал равен 10, 100, 1000 и т.д.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель

Этот способ является универсальным и подходит для любой обыкновенной дроби. Для преобразования нужно разделить числитель дроби на ее знаменатель, обычно используя деление "в столбик". В результате может получиться как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь.

Пример 1 (конечная дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{1}{8} $. Делим 1 на 8 "в столбик":

$ \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125 $

Пример 2 (бесконечная периодическая дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{2}{3} $. Делим 2 на 3. При делении мы будем постоянно получать в остатке 2, а в частном – цифру 6.

$ \frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6) $

Пример 3 (смешанная периодическая дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{5}{6} $. Делим 5 на 6 "в столбик".

$ \frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3) $

Ответ: разделить числитель дроби на ее знаменатель.

73. Какие простые делители содержит знаменатель дроби:

а) $\frac{1}{64}$;

б) $\frac{1}{48}$;

в) $\frac{1}{56}$;

г) $\frac{1}{24}$;

д) $\frac{1}{128}$;

е) $\frac{1}{78}$;

ж) $\frac{1}{256}$;

з) $\frac{1}{625}$?

а) Чтобы найти простые делители знаменателя дроби $ \frac{1}{64} $, необходимо разложить число 64 на простые множители. $ 64 = 8 \cdot 8 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^6 $. Единственным простым делителем числа 64 является число 2.
Ответ: 2

б) Знаменатель дроби равен 48. Разложим его на простые множители: $ 48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 $. Простыми делителями числа 48 являются числа 2 и 3.
Ответ: 2 и 3

в) Знаменатель дроби равен 56. Разложим его на простые множители: $ 56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $. Простыми делителями числа 56 являются числа 2 и 7.
Ответ: 2 и 7

г) Знаменатель дроби равен 24. Разложим его на простые множители: $ 24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $. Простыми делителями числа 24 являются числа 2 и 3.
Ответ: 2 и 3

д) Знаменатель дроби равен 128. Разложим его на простые множители: $ 128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2^6 = 2^7 $. Единственным простым делителем числа 128 является число 2.
Ответ: 2

е) Знаменатель дроби равен 78. Разложим его на простые множители: $ 78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13 $. Простыми делителями числа 78 являются числа 2, 3 и 13.
Ответ: 2, 3 и 13

ж) Знаменатель дроби равен 256. Разложим его на простые множители: $ 256 = 16 \cdot 16 = 2^4 \cdot 2^4 = 2^8 $. Единственным простым делителем числа 256 является число 2.
Ответ: 2

з) Знаменатель дроби равен 625. Разложим его на простые множители: $ 625 = 25 \cdot 25 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) = 5^4 $. Единственным простым делителем числа 625 является число 5.
Ответ: 5

74. Найдите несократимые дроби, равные данным:

а) $\frac{24}{60}$; $\frac{15}{20}$; $\frac{21}{30}$;

б) $\frac{65}{100}$; $\frac{94}{100}$; $\frac{8}{1000}$;

в) $\frac{16}{100}$; $\frac{72}{450}$; $\frac{144}{3600}$;

г) $\frac{18}{900}$; $\frac{120}{50}$; $\frac{404}{5050}$.

а)

Чтобы найти несократимую дробь для $\frac{24}{60}$, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). НОД(24, 60) = 12.
$\frac{24}{60} = \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5}$.

Для дроби $\frac{15}{20}$ наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 5.
$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$.

Для дроби $\frac{21}{30}$ наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 3.
$\frac{21}{30} = \frac{21 \div 3}{30 \div 3} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{2}{5}; \frac{3}{4}; \frac{7}{10}$.

б)

Сократим дробь $\frac{65}{100}$. Числитель и знаменатель делятся на 5. НОД(65, 100) = 5.
$\frac{65}{100} = \frac{65 \div 5}{100 \div 5} = \frac{13}{20}$.

Сократим дробь $\frac{94}{100}$. Числитель и знаменатель — чётные числа, их НОД равен 2.
$\frac{94}{100} = \frac{94 \div 2}{100 \div 2} = \frac{47}{50}$.

Сократим дробь $\frac{8}{1000}$. НОД(8, 1000) = 8.
$\frac{8}{1000} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{13}{20}; \frac{47}{50}; \frac{1}{125}$.

в)

Для дроби $\frac{16}{100}$ НОД числителя и знаменателя равен 4.
$\frac{16}{100} = \frac{16 \div 4}{100 \div 4} = \frac{4}{25}$.

Для дроби $\frac{72}{450}$ НОД(72, 450) = 18.
$\frac{72}{450} = \frac{72 \div 18}{450 \div 18} = \frac{4}{25}$.

Для дроби $\frac{144}{3600}$ НОД(144, 3600) = 144.
$\frac{144}{3600} = \frac{144 \div 144}{3600 \div 144} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}; \frac{4}{25}; \frac{1}{25}$.

г)

Сократим дробь $\frac{18}{900}$. НОД(18, 900) = 18.
$\frac{18}{900} = \frac{18 \div 18}{900 \div 18} = \frac{1}{50}$.

Сократим дробь $\frac{120}{50}$. НОД(120, 50) = 10.
$\frac{120}{50} = \frac{120 \div 10}{50 \div 10} = \frac{12}{5}$.

Сократим дробь $\frac{404}{5050}$. НОД(404, 5050) = 202.
$\frac{404}{5050} = \frac{404 \div 202}{5050 \div 202} = \frac{2}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{50}; \frac{12}{5}; \frac{2}{25}$.