Номер 72, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 72, страница 18.

Условие.

72. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную двумя основными способами. Выбор способа часто зависит от вида знаменателя дроби.

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10

Этот способ подходит для дробей, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно, если знаменатель несократимой дроби в своем разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5. Суть метода заключается в том, чтобы домножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. (то есть $10^n$).

Пример 1:

Преобразуем дробь $ \frac{3}{4} $. Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе степень десяти ($10^n = 2^n \cdot 5^n$), нужно домножить его на $5^2 = 25$.

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 $

Пример 2:

Преобразуем дробь $ \frac{7}{20} $. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$. Чтобы степени двоек и пятерок совпали, нужно домножить числитель и знаменатель на 5.

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35 $

Ответ: домножить числитель и знаменатель дроби на такой дополнительный множитель, чтобы знаменатель стал равен 10, 100, 1000 и т.д.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель

Этот способ является универсальным и подходит для любой обыкновенной дроби. Для преобразования нужно разделить числитель дроби на ее знаменатель, обычно используя деление "в столбик". В результате может получиться как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь.

Пример 1 (конечная дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{1}{8} $. Делим 1 на 8 "в столбик":

$ \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125 $

Пример 2 (бесконечная периодическая дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{2}{3} $. Делим 2 на 3. При делении мы будем постоянно получать в остатке 2, а в частном – цифру 6.

$ \frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6) $

Пример 3 (смешанная периодическая дробь):

Преобразуем дробь $ \frac{5}{6} $. Делим 5 на 6 "в столбик".

$ \frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3) $

Ответ: разделить числитель дроби на ее знаменатель.