Номер 67, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 67, страница 16.

Условие.

67. a) $ \frac{88}{99} $;

б) $ \frac{777}{888} $;

в) $ \frac{123}{205} $;

г) $ \frac{945}{459} $;

д) $ \frac{1212}{2727} $;

е) $ \frac{123123}{327327} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{88}{99} $, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Числитель $ 88 = 8 \times 11 $. Знаменатель $ 99 = 9 \times 11 $. Общим множителем является 11. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 11.
$ \frac{88}{99} = \frac{88 \div 11}{99 \div 11} = \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{9} $

б) Для сокращения дроби $ \frac{777}{888} $ заметим, что числитель можно представить как $ 777 = 7 \times 111 $, а знаменатель как $ 888 = 8 \times 111 $. Общий множитель равен 111.
$ \frac{777}{888} = \frac{7 \times 111}{8 \times 111} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{123}{205} $, найдем НОД для 123 и 205. Разложим числа на простые множители.
Сумма цифр числа 123 ($1+2+3=6$) делится на 3, значит, и само число делится на 3: $ 123 = 3 \times 41 $. Число 41 является простым.
Число 205 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $ 205 = 5 \times 41 $.
НОД(123, 205) = 41.
$ \frac{123}{205} = \frac{123 \div 41}{205 \div 41} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{945}{459} $ найдем НОД(945, 459). Воспользуемся признаками делимости.
Сумма цифр числителя $ 9+4+5=18 $, делится на 9. $ 945 = 9 \times 105 $.
Сумма цифр знаменателя $ 4+5+9=18 $, делится на 9. $ 459 = 9 \times 51 $.
Дробь можно переписать как $ \frac{9 \times 105}{9 \times 51} = \frac{105}{51} $.
Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, и сумма цифр числа 51 ($5+1=6$) делится на 3. Сократим на 3.
$ \frac{105 \div 3}{51 \div 3} = \frac{35}{17} $. Числа 35 и 17 взаимно простые.
Ответ: $ \frac{35}{17} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{1212}{2727} $, заметим, что числитель и знаменатель имеют повторяющиеся блоки цифр.
$ 1212 = 12 \times 101 $.
$ 2727 = 27 \times 101 $.
Сократим дробь на 101: $ \frac{1212}{2727} = \frac{12 \times 101}{27 \times 101} = \frac{12}{27} $.
Теперь сократим дробь $ \frac{12}{27} $. НОД(12, 27) = 3.
$ \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9} $.
Ответ: $ \frac{4}{9} $

е) Для сокращения дроби $ \frac{123123}{327327} $ воспользуемся свойством чисел вида 'abcabc'. Такое число всегда равно $ abc \times 1001 $.
$ 123123 = 123 \times 1001 $.
$ 327327 = 327 \times 1001 $.
Сократим дробь на 1001: $ \frac{123123}{327327} = \frac{123 \times 1001}{327 \times 1001} = \frac{123}{327} $.
Теперь нужно сократить дробь $ \frac{123}{327} $. Проверим делимость на 3.
Сумма цифр числителя: $ 1+2+3=6 $, делится на 3. $ 123 = 3 \times 41 $.
Сумма цифр знаменателя: $ 3+2+7=12 $, делится на 3. $ 327 = 3 \times 109 $.
Сократим дробь на 3: $ \frac{123 \div 3}{327 \div 3} = \frac{41}{109} $. Числа 41 и 109 являются простыми.
Ответ: $ \frac{41}{109} $