Номер 66, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 66, страница 16.

Условие.

Сократите дробь (66—67):

66. a) $\frac{16}{24}$;

б) $\frac{240}{1000}$;

в) $\frac{1240}{10000}$;

г) $\frac{1024}{3456}$;

д) $\frac{315}{420}$;

е) $\frac{630}{1470}$;

ж) $\frac{660}{616}$;

з) $\frac{770}{1320}$;

и) $\frac{143}{260}$;

к) $\frac{112}{672}$;

л) $\frac{450}{540}$;

м) $\frac{777}{2121}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{16}{24} $, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 16 и знаменателя 24. НОД(16, 24) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

б) В дроби $ \frac{240}{1000} $ можно сначала сократить на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе: $ \frac{24}{100} $. Теперь числитель и знаменатель являются четными числами. Их наибольший общий делитель равен 4. Разделим их на 4:
$ \frac{24 \div 4}{100 \div 4} = \frac{6}{25} $.
Ответ: $ \frac{6}{25} $

в) Сократим дробь $ \frac{1240}{10000} $. Сначала сократим на 10: $ \frac{124}{1000} $. Оба числа, 124 и 1000, делятся на 4. Выполним деление:
$ 124 \div 4 = 31 $
$ 1000 \div 4 = 250 $
Получаем дробь $ \frac{31}{250} $. Так как 31 - простое число, а 250 на 31 не делится, то дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{31}{250} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{1024}{3456} $ разложим числитель и знаменатель на простые множители.
Числитель $ 1024 $ это степень двойки: $ 1024 = 2^{10} $.
Знаменатель $ 3456 $ можно разложить так: $ 3456 = 32 \cdot 108 = 2^5 \cdot 4 \cdot 27 = 2^5 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 2^7 \cdot 3^3 $.
Теперь сократим дробь на общий множитель $ 2^7 $:
$ \frac{1024}{3456} = \frac{2^{10}}{2^7 \cdot 3^3} = \frac{2^{10-7}}{3^3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $.
Ответ: $ \frac{8}{27} $

д) Сократим дробь $ \frac{315}{420} $. Числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, значит оба делятся на 5:
$ \frac{315 \div 5}{420 \div 5} = \frac{63}{84} $.
Теперь числа 63 и 84 делятся на 21 ($63 = 3 \cdot 21$, $84 = 4 \cdot 21$). Сократим на 21:
$ \frac{63 \div 21}{84 \div 21} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $

е) В дроби $ \frac{630}{1470} $ сократим на 10: $ \frac{63}{147} $. Сумма цифр числителя ($6+3=9$) и знаменателя ($1+4+7=12$) делится на 3, значит, сократим на 3:
$ \frac{63 \div 3}{147 \div 3} = \frac{21}{49} $.
Теперь числитель и знаменатель делятся на 7:
$ \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} $

ж) Сократим дробь $ \frac{660}{616} $. Оба числа четные. Заметим, что оба делятся на 4 ($60 \div 4 = 15$, $16 \div 4 = 4$):
$ 660 \div 4 = 165 $
$ 616 \div 4 = 154 $
Получаем дробь $ \frac{165}{154} $. Разложим числитель и знаменатель на множители: $ 165 = 15 \cdot 11 $ и $ 154 = 14 \cdot 11 $. Сократим на 11:
$ \frac{165 \div 11}{154 \div 11} = \frac{15}{14} $.
Ответ: $ \frac{15}{14} $

з) Сокращаем дробь $ \frac{770}{1320} $. Сначала сокращаем на 10: $ \frac{77}{132} $. Числитель $ 77 = 7 \cdot 11 $. Проверим, делится ли знаменатель 132 на 11. $ 132 \div 11 = 12 $. Значит, сокращаем дробь на 11:
$ \frac{77 \div 11}{132 \div 11} = \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{7}{12} $

и) Чтобы сократить дробь $ \frac{143}{260} $, найдем общие делители. Разложим числитель 143 на множители: $ 143 = 11 \cdot 13 $. Теперь проверим, делится ли знаменатель 260 на 11 или 13. $ 260 = 26 \cdot 10 = 2 \cdot 13 \cdot 10 $. Общий делитель - 13. Сокращаем на 13:
$ \frac{143 \div 13}{260 \div 13} = \frac{11}{20} $.
Ответ: $ \frac{11}{20} $

к) Для сокращения дроби $ \frac{112}{672} $ проверим, не делится ли знаменатель на числитель.
$ 672 \div 112 = 6 $.
Следовательно, мы можем сократить дробь на 112:
$ \frac{112}{672} = \frac{1 \cdot 112}{6 \cdot 112} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

л) Сокращаем дробь $ \frac{450}{540} $. Сначала сократим на 10: $ \frac{45}{54} $. Оба числа, 45 и 54, делятся на 9.
$ 45 = 9 \cdot 5 $
$ 54 = 9 \cdot 6 $
Сократим дробь на 9:
$ \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $

м) Для сокращения дроби $ \frac{777}{2121} $ разложим числитель и знаменатель на множители.
$ 777 = 7 \cdot 111 = 7 \cdot 3 \cdot 37 = 21 \cdot 37 $.
$ 2121 = 21 \cdot 101 $.
Общим множителем является 21. Сократим дробь на 21:
$ \frac{777}{2121} = \frac{21 \cdot 37}{21 \cdot 101} = \frac{37}{101} $.
Числа 37 и 101 являются простыми, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{37}{101} $