Номер 65, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 65, страница 16.

Условие.

65. Разложите числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократите дробь, если возможно:

а) $\frac{12}{35}$; б) $\frac{48}{100}$; в) $\frac{105}{125}$; г) $\frac{24}{36}$;

д) $\frac{56}{100}$; е) $\frac{225}{300}$; ж) $\frac{123}{321}$; з) $\frac{111}{132}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{35}$ на простые множители.
Разложение числителя: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $35 = 5 \cdot 7$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{12}{35} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5 \cdot 7}$.
В числителе и знаменателе нет общих простых множителей, поэтому дробь сократить нельзя.
Ответ: $\frac{12}{35}$.

б) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{48}{100}$ на простые множители.
Разложение числителя: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $100 = 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{48}{100} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{12}{25}$.
Ответ: $\frac{12}{25}$.

в) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{105}{125}$ на простые множители.
Разложение числителя: $105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
Разложение знаменателя: $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{105}{125} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{21}{25}$.
Ответ: $\frac{21}{25}$.

г) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{24}{36}$ на простые множители.
Разложение числителя: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

д) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{56}{100}$ на простые множители.
Разложение числителя: $56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.
Разложение знаменателя: $100 = 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{56}{100} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 7}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25}$.
Ответ: $\frac{14}{25}$.

е) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{225}{300}$ на простые множители.
Разложение числителя: $225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot 5 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$.
Разложение знаменателя: $300 = 10 \cdot 30 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 10) = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{225}{300} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

ж) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{123}{321}$ на простые множители.
Разложение числителя (сумма цифр 1+2+3=6, делится на 3): $123 = 3 \cdot 41$.
Разложение знаменателя (сумма цифр 3+2+1=6, делится на 3): $321 = 3 \cdot 107$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{123}{321} = \frac{3 \cdot 41}{3 \cdot 107} = \frac{\cancel{3} \cdot 41}{\cancel{3} \cdot 107} = \frac{41}{107}$.
Ответ: $\frac{41}{107}$.

з) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{111}{132}$ на простые множители.
Разложение числителя (сумма цифр 1+1+1=3, делится на 3): $111 = 3 \cdot 37$.
Разложение знаменателя: $132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{111}{132} = \frac{3 \cdot 37}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11} = \frac{\cancel{3} \cdot 37}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 11} = \frac{37}{44}$.
Ответ: $\frac{37}{44}$.