Номер 71, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 71, страница 18.

Условие.

71. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее можно привести к дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. То есть, к дроби вида $\frac{A}{10^n}$, где $A$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Рассмотрим основание десятичной системы счисления — число 10. Его разложение на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Соответственно, любая степень числа 10 будет в своем разложении содержать только эти простые множители: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$.

Пусть у нас есть несократимая дробь $\frac{p}{q}$. Чтобы ее можно было превратить в конечную десятичную, мы должны иметь возможность привести ее к знаменателю $10^n$, умножив числитель и знаменатель на некоторое целое число $k$. То есть, $q \cdot k = 10^n$.
Это возможно только в том случае, если знаменатель $q$ уже состоит из простых множителей 2 и 5. Если в разложении знаменателя $q$ присутствует какой-либо другой простой множитель (например, 3, 7, 11 и т.д.), то никаким умножением на целое число $k$ мы не сможем от него избавиться и получить в знаменателе только 2 и 5. Так как дробь несократимая, этот множитель нельзя сократить с числителем.

Таким образом, для того чтобы несократимая обыкновенная дробь разлагалась в конечную десятичную, ее знаменатель должен иметь в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5.

Примеры

1. Дробь $\frac{7}{8}$. Дробь несократимая. Знаменатель $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только простой множитель 2. Дробь является конечной десятичной: $\frac{7}{8} = 0.875$.

2. Дробь $\frac{13}{40}$. Дробь несократимая. Знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении знаменателя содержатся только простые множители 2 и 5. Дробь является конечной десятичной: $\frac{13}{40} = 0.325$.

3. Дробь $\frac{1}{3}$. Дробь несократимая. Знаменатель равен 3. В разложении присутствует простой множитель 3. Дробь не является конечной десятичной, она периодическая: $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

4. Дробь $\frac{5}{12}$. Дробь несократимая. Знаменатель $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3. Дробь не является конечной десятичной, она периодическая: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Чтобы обыкновенная несократимая дробь разлагалась в конечную десятичную дробь, её знаменатель не должен иметь никаких других простых делителей, кроме 2 и 5.