Номер 68, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 68, страница 16.

Условие.

68. Проверьте, является ли дробь несократимой:

а) $\frac{13}{21}$;

б) $\frac{62}{81}$;

в) $\frac{94}{98}$;

г) $\frac{125}{250}$;

д) $\frac{17}{10}$;

е) $\frac{63}{91}$;

ж) $\frac{126}{129}$;

з) $\frac{217}{279}$;

и) $\frac{765}{1071}$;

к) $\frac{396}{591}$;

л) $\frac{199}{200}$;

м) $\frac{1999}{2000}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если НОД числителя и знаменателя больше 1, то дробь является сократимой.

а) Проверим дробь $\frac{13}{21}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.Число 13 является простым, поэтому его делители только 1 и 13.Знаменатель 21 раскладывается на множители: $21 = 3 \cdot 7$.Общих простых множителей у чисел 13 и 21 нет. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.НОД(13, 21) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

б) Проверим дробь $\frac{62}{81}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.$62 = 2 \cdot 31$.$81 = 3^4$.Общих простых множителей у чисел 62 и 81 нет. Следовательно, НОД(62, 81) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

в) Проверим дробь $\frac{94}{98}$.

Числитель 94 и знаменатель 98 являются четными числами, значит, оба делятся на 2.$94 = 2 \cdot 47$.$98 = 2 \cdot 49$.Поскольку у чисел есть общий делитель 2, дробь можно сократить:$\frac{94}{98} = \frac{2 \cdot 47}{2 \cdot 49} = \frac{47}{49}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

г) Проверим дробь $\frac{125}{250}$.

Знаменатель 250 делится на числитель 125, так как $250 = 2 \cdot 125$.Следовательно, дробь можно сократить на 125:$\frac{125}{250} = \frac{1 \cdot 125}{2 \cdot 125} = \frac{1}{2}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

д) Проверим дробь $\frac{17}{10}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.Число 17 является простым.$10 = 2 \cdot 5$.Общих простых множителей у чисел 17 и 10 нет. НОД(17, 10) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

е) Проверим дробь $\frac{63}{91}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.$63 = 3^2 \cdot 7$.Чтобы разложить 91, проверим его делимость на простые числа. $91$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7: $91 \div 7 = 13$. Так что $91 = 7 \cdot 13$.Общий множитель равен 7, значит дробь сократима.$\frac{63}{91} = \frac{7 \cdot 9}{7 \cdot 13} = \frac{9}{13}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

ж) Проверим дробь $\frac{126}{129}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 126: $1+2+6=9$. Число 126 делится на 3.Сумма цифр знаменателя 129: $1+2+9=12$. Число 129 делится на 3.Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой.$\frac{126}{129} = \frac{126 \div 3}{129 \div 3} = \frac{42}{43}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

з) Проверим дробь $\frac{217}{279}$.

Найдем НОД(217, 279) с помощью алгоритма Евклида.$279 = 1 \cdot 217 + 62$.$217 = 3 \cdot 62 + 31$.$62 = 2 \cdot 31 + 0$.НОД(217, 279) = 31. Поскольку НОД не равен 1, дробь сократима.$\frac{217}{279} = \frac{217 \div 31}{279 \div 31} = \frac{7}{9}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

и) Проверим дробь $\frac{765}{1071}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 765: $7+6+5=18$. Число 765 делится на 3 и на 9.Сумма цифр знаменателя 1071: $1+0+7+1=9$. Число 1071 делится на 3 и на 9.Поскольку оба числа делятся на 9, дробь является сократимой.

Ответ: дробь не является несократимой.

к) Проверим дробь $\frac{396}{591}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 396: $3+9+6=18$. Число 396 делится на 3.Сумма цифр знаменателя 591: $5+9+1=15$. Число 591 делится на 3.Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой.

Ответ: дробь не является несократимой.

л) Проверим дробь $\frac{199}{200}$.

Числитель и знаменатель являются последовательными натуральными числами. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты, их НОД всегда равен 1.НОД(199, 200) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

м) Проверим дробь $\frac{1999}{2000}$.

Числитель и знаменатель являются последовательными натуральными числами. Их НОД всегда равен 1.НОД(1999, 2000) = 1.Число 1999 является простым.

Ответ: дробь является несократимой.