Номер 62, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 62, страница 16.

Условие.

62. В чём заключается основное свойство дроби?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Основное свойство дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная исходной. Это одно из самых важных правил при работе с дробями.

Математически это свойство можно записать следующим образом для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ c $ (где $ c \neq 0 $):

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $ (умножение)

и

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (деление)

Это свойство имеет два основных практических применения.

Приведение дроби к новому знаменателю

Эта операция выполняется путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число (дополнительный множитель). Она необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения.

Например, чтобы привести дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый ($ 12 \div 4 = 3 $), и умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

Дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $ равны.

Сокращение дроби

Эта операция выполняется путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель (число, на которое делятся оба без остатка). Сокращение позволяет упростить дробь. Дробь, которую больше нельзя сократить, называется несократимой.

Например, чтобы сократить дробь $ \frac{8}{20} $, нужно найти их общий делитель. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 8 и 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} $

Дробь $ \frac{2}{5} $ является несократимой и равна исходной дроби $ \frac{8}{20} $.

Таким образом, основное свойство дроби является фундаментальным принципом, который позволяет изменять вид дроби, не изменяя ее значения, что необходимо для выполнения большинства операций с дробями.

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.