Номер 55, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 55, страница 13.

Условие.

55. Разложите на простые множители числа, т. е. запишите число в виде произведения степеней простых чисел:

а) 16, 18, 26;

б) 35, 48, 72;

в) 144, 210, 800;

г) 216, 343, 384;

д) 1024, 1728, 1575;

е) 9225, 1001, 1739.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Разложим на простые множители числа 16, 18, 26.

Для числа 16:
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Следовательно, разложение числа 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Для числа 18:
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Следовательно, разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Для числа 26:
$26 \div 2 = 13$
13 является простым числом.
Следовательно, разложение числа 26 на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$.

Ответ: $16 = 2^4$; $18 = 2 \cdot 3^2$; $26 = 2 \cdot 13$.

б) Разложим на простые множители числа 35, 48, 72.

Для числа 35:
$35 \div 5 = 7$
7 является простым числом.
Следовательно, $35 = 5 \cdot 7$.

Для числа 48:
$48 \div 2 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
3 является простым числом.
Следовательно, $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Для числа 72:
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
3 является простым числом.
Следовательно, $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$.

Ответ: $35 = 5 \cdot 7$; $48 = 2^4 \cdot 3$; $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

в) Разложим на простые множители числа 144, 210, 800.

Для числа 144:
$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$.
Или по шагам: $144 \div 2 = 72$; $72 \div 2 = 36$; $36 \div 2 = 18$; $18 \div 2 = 9$; $9 \div 3 = 3$.
Следовательно, $144 = 2^4 \cdot 3^2$.

Для числа 210:
$210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)$.
Следовательно, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для числа 800:
$800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2$.
Или по шагам: $800 \div 2 = 400$; $400 \div 2 = 200$; $200 \div 2 = 100$; $100 \div 2 = 50$; $50 \div 2 = 25$; $25 \div 5 = 5$.
Следовательно, $800 = 2^5 \cdot 5^2$.

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$; $800 = 2^5 \cdot 5^2$.

г) Разложим на простые множители числа 216, 343, 384.

Для числа 216:
$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.
Или по шагам: $216 \div 2 = 108$; $108 \div 2 = 54$; $54 \div 2 = 27$; $27 \div 3 = 9$; $9 \div 3 = 3$.
Следовательно, $216 = 2^3 \cdot 3^3$.

Для числа 343:
Проверим деление на простые числа. $343$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7:
$343 \div 7 = 49$
$49 = 7^2$.
Следовательно, $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$.

Для числа 384:
$384 \div 2 = 192$; $192 \div 2 = 96$; $96 \div 2 = 48$; $48 \div 2 = 24$; $24 \div 2 = 12$; $12 \div 2 = 6$; $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $384 = 2^7 \cdot 3$.

Ответ: $216 = 2^3 \cdot 3^3$; $343 = 7^3$; $384 = 2^7 \cdot 3$.

д) Разложим на простые множители числа 1024, 1728, 1575.

Для числа 1024:
Это известная степень двойки.
$1024 = 2^{10}$.

Для числа 1728:
Это куб числа 12.
$1728 = 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = (2^2)^3 \cdot 3^3 = 2^6 \cdot 3^3$.
Или по шагам: $1728 \div 2 = 864$; $864 \div 2 = 432$; $432 \div 2 = 216$; $216 = 2^3 \cdot 3^3$.
Итого: $1728 = 2^3 \cdot (2^3 \cdot 3^3) = 2^6 \cdot 3^3$.

Для числа 1575:
$1575 \div 5 = 315$
$315 \div 5 = 63$
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
Следовательно, $1575 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Ответ: $1024 = 2^{10}$; $1728 = 2^6 \cdot 3^3$; $1575 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

е) Разложим на простые множители числа 9225, 1001, 1739.

Для числа 9225:
$9225 \div 5 = 1845$
$1845 \div 5 = 369$
Сумма цифр 369 равна 18, значит, число делится на 9: $369 \div 9 = 41$.
41 является простым числом.
Следовательно, $9225 = 5^2 \cdot 9 \cdot 41 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 41$.

Для числа 1001:
Проверим деление на простые числа. $1001$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7:
$1001 = 700 + 301 = 7 \cdot 100 + 7 \cdot 43 = 7 \cdot 143$.
Теперь разложим 143. Проверим 11:
$143 = 110 + 33 = 11 \cdot 10 + 11 \cdot 3 = 11 \cdot 13$.
13 является простым числом.
Следовательно, $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Для числа 1739:
Проверим деление на простые числа: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
$\sqrt{1739} \approx 41.7$. Нужно проверять простые числа до 41.
$1739 \div 37 = 47$.
Числа 37 и 47 являются простыми.
Следовательно, $1739 = 37 \cdot 47$.

Ответ: $9225 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 41$; $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$; $1739 = 37 \cdot 47$.