Номер 52, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 52, страница 13.

Условие.

52. Приведите примеры натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 3 и 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы найти натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 3 и 5, нужно понять, что это означает. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел единственным способом (с точностью до порядка сомножителей). Условие задачи означает, что в разложении искомых чисел на простые множители могут встречаться только числа 3 и 5.

Следовательно, любое такое число $N$ должно иметь вид:

$N = 3^m \cdot 5^n$

где $m$ и $n$ — целые неотрицательные числа ($m \ge 0$, $n \ge 0$).

Приведем несколько примеров, подставляя различные значения для $m$ и $n$.

1. Случаи, когда один из показателей равен нулю.

• Пусть $n=0$. Тогда числа будут степенями тройки. Их единственный простой делитель — это 3.
  При $m=1, n=0$: $N = 3^1 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. (Простые делители: {3})
  При $m=2, n=0$: $N = 3^2 \cdot 5^0 = 9 \cdot 1 = 9$. (Простые делители: {3})
  При $m=3, n=0$: $N = 3^3 \cdot 5^0 = 27 \cdot 1 = 27$. (Простые делители: {3})

• Пусть $m=0$. Тогда числа будут степенями пятерки. Их единственный простой делитель — это 5.
  При $m=0, n=1$: $N = 3^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$. (Простые делители: {5})
  При $m=0, n=2$: $N = 3^0 \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25$. (Простые делители: {5})
  При $m=0, n=3$: $N = 3^0 \cdot 5^3 = 1 \cdot 125 = 125$. (Простые делители: {5})

2. Случаи, когда оба показателя больше нуля.

В этих случаях у чисел будет два простых делителя: 3 и 5.

• При $m=1, n=1$: $N = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=2, n=1$: $N = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=1, n=2$: $N = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=3, n=2$: $N = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675$. (Простые делители: {3, 5})

3. Особый случай.

При $m=0$ и $n=0$: $N = 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1$. Число 1 не имеет простых делителей, поэтому формально оно удовлетворяет условию (у него нет других простых делителей, кроме 3 и 5, так как их вообще нет).

Таким образом, можно привести множество примеров.

Ответ: Примерами таких чисел являются 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 125, 225 и так далее. Любое число вида $3^m \cdot 5^n$ будет верным ответом.