Номер 45, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 45, страница 11.

Условие.

45. а) Докажите, что одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.

б) Известно, что $p$, $p + 2$, $p + 4$ — простые числа. Найдите $p$. Докажите, что других $p$ не существует.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Пусть у нас есть три последовательных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда три последовательных нечётных числа можно записать как $2k+1$, $2k+3$ и $2k+5$.
Рассмотрим остатки от деления на 3 для первого числа $2k+1$. Существует три возможных случая:

1. Первое число делится на 3. В этом случае утверждение доказано.
2. Первое число при делении на 3 даёт в остатке 1. То есть, $2k+1 = 3m+1$ для некоторого целого $m$.
   Тогда второе число равно $(2k+1)+2 = (3m+1)+2 = 3m+3 = 3(m+1)$. Это число делится на 3. В этом случае утверждение доказано.
3. Первое число при делении на 3 даёт в остатке 2. То есть, $2k+1 = 3m+2$ для некоторого целого $m$.
   Тогда третье число равно $(2k+1)+4 = (3m+2)+4 = 3m+6 = 3(m+2)$. Это число делится на 3. В этом случае утверждение также доказано.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них одно из трёх последовательных нечётных чисел обязательно делится на 3. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим тройку чисел $p$, $p+2$, $p+4$.

Сначала проверим единственное чётное простое число $p=2$.
Если $p=2$, то тройка чисел будет: 2, 4, 6. В этой тройке числа 4 и 6 не являются простыми. Значит, $p=2$ не является решением.

Следовательно, $p$ должно быть нечётным простым числом. В этом случае $p$, $p+2$ и $p+4$ — это три последовательных нечётных числа.

Из пункта а) мы знаем, что одно из трёх последовательных нечётных чисел должно делиться на 3. Так как $p$, $p+2$ и $p+4$ — простые числа, то одно из них должно быть равно 3 (поскольку 3 — единственное простое число, которое делится на 3).

Рассмотрим три возможных варианта:

1. $p=3$. В этом случае тройка чисел: 3, $3+2=5$, $3+4=7$. Числа 3, 5 и 7 являются простыми. Значит, $p=3$ — это решение.
2. $p+2=3$. В этом случае $p=1$. Число 1 не является простым по определению.
3. $p+4=3$. В этом случае $p=-1$. Простое число не может быть отрицательным.

Таким образом, единственно возможным решением является $p=3$.

Теперь докажем, что других решений не существует. Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2.

• Если $p$ при делении на 3 даёт остаток 1, то $p$ можно записать в виде $p=3k+1$ для некоторого натурального $k$. Тогда $p+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$. Поскольку $p>3$, то $k \geq 1$, значит $k+1 \geq 2$. Следовательно, число $p+2$ делится на 3 и больше 3, а значит, оно не является простым.
• Если $p$ при делении на 3 даёт остаток 2, то $p$ можно записать в виде $p=3k+2$ для некоторого натурального $k$. Тогда $p+4 = (3k+2)+4 = 3k+6 = 3(k+2)$. Поскольку $p>3$ (например, $p=5=3\cdot1+2$), то $k \geq 1$, значит $k+2 \geq 3$. Следовательно, число $p+4$ делится на 3 и больше 3, а значит, оно не является простым.

Мы доказали, что для любого простого $p > 3$ одно из чисел $p+2$ или $p+4$ будет составным. Следовательно, не существует других простых $p$, для которых числа $p, p+2, p+4$ были бы одновременно простыми.
Ответ: $p=3$.