Номер 40, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 40, страница 11.

Условие.

40. Доказываем. Докажите, что $2$ — единственное чётное простое число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Доказываем.

Для доказательства утверждения, что 2 является единственным чётным простым числом, разобьем его на две части. Сначала докажем, что 2 — это чётное и простое число, а затем докажем, что любое другое чётное число простым не является.

Для начала вспомним определения:

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

1. Проверим число 2.

Число 2 является чётным, поскольку $2 \div 2 = 1$.

Число 2 является простым, так как оно больше 1 и его единственными натуральными делителями являются 1 и 2.

Следовательно, 2 — это чётное простое число.

2. Проверим все остальные чётные числа.

Рассмотрим любое чётное натуральное число $N$, такое что $N > 2$.

По определению чётного числа, $N$ делится на 2. Это означает, что число $N$ можно представить в виде $N = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Поскольку по условию $N > 2$, то и $2 \cdot k > 2$. Разделив обе части неравенства на 2, получим $k > 1$.

Это означает, что у числа $N$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1 (любое натуральное число делится на 1), 2 (поскольку $N$ чётное) и само число $N$. Так как $N > 2$, все три делителя (1, 2 и $N$) различны.

Согласно определению, простое число должно иметь ровно два делителя. Поскольку любое чётное число $N > 2$ имеет как минимум три делителя, оно не может быть простым. Такое число называется составным.

Таким образом, мы доказали, что 2 — это чётное простое число, и что любое другое чётное натуральное число является составным. Следовательно, 2 — единственное чётное простое число. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Число 2 является чётным (делится на 2) и простым (делители только 1 и 2). Любое другое чётное число $N > 2$ представимо в виде $N = 2k$, где $k$ — натуральное число больше 1. Это значит, что у $N$ есть как минимум три делителя: 1, 2 и $N$, поэтому оно является составным, а не простым.