Номер 42, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 42, страница 11.

Условие.

42. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) двух чётных чисел;

Давайте разберемся, какой будет сумма двух чётных чисел. Чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – натуральное число. Возьмём два чётных числа: $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$. Их сумма будет равна $S = a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$.
Как видно из формулы, сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом, так как она делится на 2.
Простое число – это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное чётное простое число – это 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, ...) – нечётные.
Следовательно, единственным простым числом, которое могло бы быть суммой двух чётных чисел, является число 2. Однако, если мы говорим о натуральных (положительных) чётных числах (2, 4, 6, ...), то наименьшая возможная сумма двух таких чисел – это $2 + 2 = 4$. Любая другая сумма двух натуральных чётных чисел будет больше 4.
Таким образом, сумма двух натуральных чётных чисел всегда является чётным числом, большим или равным 4. Любое чётное число, большее 2, является составным (делится на 1, на себя и на 2). Значит, записать простое число в виде суммы двух чётных чисел нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

б) двух нечётных чисел;

Рассмотрим сумму двух нечётных чисел. Нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ – целое неотрицательное число. Возьмём два нечётных числа: $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$.
Их сумма будет равна $S = a + b = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$.
Из формулы видно, что сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Единственное чётное простое число – это 2. Все остальные простые числа нечётные, и поэтому их нельзя представить в виде суммы двух нечётных чисел.
Проверим, можно ли представить число 2 в виде такой суммы. Да, можно, если взять наименьшее натуральное нечётное число 1: $1 + 1 = 2$.
Число 2 является простым, а число 1 – нечётным. Таким образом, мы нашли пример простого числа, которое можно записать в виде суммы двух нечётных чисел.
Ответ: да, можно. Например, $2 = 1 + 1$.

в) чётного и нечётного чисел?

Рассмотрим сумму чётного и нечётного числа. Пусть чётное число равно $a = 2k_1$, а нечётное число равно $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ - натуральное, а $k_2$ - неотрицательное целое.
Их сумма будет равна $S = a + b = 2k_1 + (2k_2 + 1) = 2(k_1 + k_2) + 1$.
Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$ (например, 3, 5, 7, 11 и так далее).
Можно ли представить $p$ в виде суммы чётного и нечётного натуральных чисел? Да, можно. Например, можно взять самое маленькое натуральное чётное число 2. Тогда $p = 2 + (p-2)$.
Поскольку $p$ – нечётное число и $p > 2$, то $p-2$ также будет нечётным натуральным числом.
Примеры:
$3 = 2 + 1$ (2 – чётное, 1 – нечётное).
$5 = 2 + 3$ (2 – чётное, 3 – нечётное).
$7 = 4 + 3$ (4 – чётное, 3 – нечётное).
$13 = 6 + 7$ (6 – чётное, 7 – нечётное).
Таким образом, любое нечётное простое число можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел.
Ответ: да, можно.