Номер 43, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 43, страница 11.

Условие.

43. Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: $p = n^2 - n + 41$. Сколько простых чисел даёт эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Задача состоит в том, чтобы найти, сколько последовательных простых чисел, начиная с $n=1$, генерирует формула Эйлера $p = n^2 - n + 41$. Для этого необходимо последовательно подставлять в формулу натуральные числа $n=1, 2, 3, \ldots$ и проверять, является ли полученное число $p$ простым. Вычисления следует продолжать до тех пор, пока не будет найдено первое составное число.

Выполним вычисления для первых нескольких значений $n$:
При $n=1$: $p = 1^2 - 1 + 41 = 1 - 1 + 41 = 41$. Число 41 является простым.
При $n=2$: $p = 2^2 - 2 + 41 = 4 - 2 + 41 = 43$. Число 43 является простым.
При $n=3$: $p = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$. Число 47 является простым.
При $n=4$: $p = 4^2 - 4 + 41 = 16 - 4 + 41 = 53$. Число 53 является простым.
При $n=5$: $p = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$. Число 61 является простым.

Чтобы найти первое составное число, не перебирая все значения подряд, проанализируем саму формулу. Обозначим многочлен как $p(n) = n^2 - n + 41$. Его можно представить в виде $p(n) = n(n-1) + 41$.

Заметим, что если значение $n$ подставить таким образом, чтобы одно из слагаемых делилось на 41, то и вся сумма может оказаться кратной 41. Рассмотрим значение $n=41$.

Подставим $n=41$ в формулу: $p(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2 = 1681$.

Число $1681$ является составным, так как оно имеет делители 1, 41 и 1681. Следовательно, при $n=41$ формула впервые даёт составное число.

Это означает, что для всех натуральных чисел $n$ от 1 до 40 включительно формула $p = n^2 - n + 41$ генерирует простые числа. Таким образом, количество простых чисел, которые даёт формула подряд, начиная с $n=1$, равно 40.

Ответ: 40.