Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

38. Выпишите первые 25 простых чисел в порядке возрастания.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и делится без остатка только на 1 и на само себя. Чтобы найти первые 25 простых чисел, будем последовательно перебирать натуральные числа в порядке возрастания и проверять их на простоту.

Начинаем с числа 2, которое является первым и единственным чётным простым числом. Следующее число, 3, также является простым. Число 4 — составное, так как $4 = 2 \cdot 2$. Далее идёт простое число 5. Число 6 является составным ($6 = 2 \cdot 3$). Следующее простое число — 7. Числа 8, 9, 10 являются составными. Затем мы находим простые числа 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.

Продолжая этот процесс отсеивания составных чисел, мы получим следующий полный список из первых 25 простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

39. Выпишите все составные числа, не превышающие 50, в порядке возрастания.

Составное число — это натуральное число, которое больше 1 и не является простым. То есть, у него есть делители, отличные от 1 и самого себя. Задача состоит в том, чтобы найти все такие числа, не превышающие 50 (то есть $ \le 50 $), и записать их в порядке возрастания.

Для решения этой задачи мы последовательно рассмотрим все натуральные числа от 1 до 50.

1. Число 1 по определению не является ни простым, ни составным.

2. Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на себя. Мы должны исключить их. Простые числа в диапазоне до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

3. Все остальные числа в диапазоне от 2 до 50 (кроме перечисленных простых) будут являться составными. Найдем их, проверяя наличие делителей:

4 (делится на 2), 6 (делится на 2), 8 (делится на 2), 9 (делится на 3), 10 (делится на 2).
12 (делится на 2), 14 (делится на 2), 15 (делится на 3), 16 (делится на 2), 18 (делится на 2), 20 (делится на 2).
21 (делится на 3), 22 (делится на 2), 24 (делится на 2), 25 (делится на 5), 26 (делится на 2), 27 (делится на 3), 28 (делится на 2), 30 (делится на 2).
32 (делится на 2), 33 (делится на 3), 34 (делится на 2), 35 (делится на 5), 36 (делится на 2), 38 (делится на 2), 39 (делится на 3), 40 (делится на 2).
42 (делится на 2), 44 (делится на 2), 45 (делится на 3), 46 (делится на 2), 48 (делится на 2), 49 (делится на 7), 50 (делится на 2).

Теперь запишем все найденные составные числа в порядке возрастания.

Ответ: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50.

40. Доказываем. Докажите, что $2$ — единственное чётное простое число.

Доказываем.

Для доказательства утверждения, что 2 является единственным чётным простым числом, разобьем его на две части. Сначала докажем, что 2 — это чётное и простое число, а затем докажем, что любое другое чётное число простым не является.

Для начала вспомним определения:

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

1. Проверим число 2.

Число 2 является чётным, поскольку $2 \div 2 = 1$.

Число 2 является простым, так как оно больше 1 и его единственными натуральными делителями являются 1 и 2.

Следовательно, 2 — это чётное простое число.

2. Проверим все остальные чётные числа.

Рассмотрим любое чётное натуральное число $N$, такое что $N > 2$.

По определению чётного числа, $N$ делится на 2. Это означает, что число $N$ можно представить в виде $N = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Поскольку по условию $N > 2$, то и $2 \cdot k > 2$. Разделив обе части неравенства на 2, получим $k > 1$.

Это означает, что у числа $N$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1 (любое натуральное число делится на 1), 2 (поскольку $N$ чётное) и само число $N$. Так как $N > 2$, все три делителя (1, 2 и $N$) различны.

Согласно определению, простое число должно иметь ровно два делителя. Поскольку любое чётное число $N > 2$ имеет как минимум три делителя, оно не может быть простым. Такое число называется составным.

Таким образом, мы доказали, что 2 — это чётное простое число, и что любое другое чётное натуральное число является составным. Следовательно, 2 — единственное чётное простое число. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Число 2 является чётным (делится на 2) и простым (делители только 1 и 2). Любое другое чётное число $N > 2$ представимо в виде $N = 2k$, где $k$ — натуральное число больше 1. Это значит, что у $N$ есть как минимум три делителя: 1, 2 и $N$, поэтому оно является составным, а не простым.

41. Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.

Для решения задачи представим искомое число $N$ в виде разности квадратов двух простых чисел $p_1$ и $p_2$:

$N = p_1^2 - p_2^2$

Используя формулу разности квадратов, получим:

$N = (p_1 - p_2)(p_1 + p_2)$

Пусть $x = p_1 - p_2$ и $y = p_1 + p_2$. Тогда $N = x \cdot y$. Из этих двух уравнений можно выразить $p_1$ и $p_2$:

$p_1 = \frac{x+y}{2}$

$p_2 = \frac{y-x}{2}$

Чтобы $p_1$ и $p_2$ были целыми числами, необходимо, чтобы $x$ и $y$ имели одинаковую четность (оба были четными или оба нечетными). Поскольку числа 48 и 96 являются четными, их множители $x$ и $y$ должны быть оба четными.

Число 48

Нам нужно найти два простых числа $p_1$ и $p_2$ такие, что $48 = p_1^2 - p_2^2$.

Разложим число 48 на пары четных множителей $(x, y)$, где $x < y$:

• $x=2, y=24$
• $x=4, y=12$
• $x=6, y=8$

Рассмотрим каждую пару:

1. Если $x=2$ и $y=24$:

   $p_1 = \frac{2+24}{2} = \frac{26}{2} = 13$

   $p_2 = \frac{24-2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

   Числа 13 и 11 являются простыми. Проверим: $13^2 - 11^2 = 169 - 121 = 48$. Это решение подходит.

2. Если $x=4$ и $y=12$:

   $p_1 = \frac{4+12}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Число 8 не является простым.

3. Если $x=6$ и $y=8$:

   $p_1 = \frac{6+8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

   $p_2 = \frac{8-6}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Число 1 не является простым.

Таким образом, единственное решение для числа 48 найдено.

Ответ: $48 = 13^2 - 11^2$.

Число 96

Нам нужно найти два простых числа $p_1$ и $p_2$ такие, что $96 = p_1^2 - p_2^2$.

Разложим число 96 на пары четных множителей $(x, y)$, где $x < y$:

• $x=2, y=48$
• $x=4, y=24$
• $x=6, y=16$
• $x=8, y=12$

Рассмотрим каждую пару:

1. Если $x=2$ и $y=48$:

   $p_1 = \frac{2+48}{2} = \frac{50}{2} = 25$. Число 25 не является простым, так как $25=5 \cdot 5$.

2. Если $x=4$ и $y=24$:

   $p_1 = \frac{4+24}{2} = \frac{28}{2} = 14$. Число 14 не является простым, так как $14=2 \cdot 7$.

3. Если $x=6$ и $y=16$:

   $p_1 = \frac{6+16}{2} = \frac{22}{2} = 11$

   $p_2 = \frac{16-6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

   Числа 11 и 5 являются простыми. Проверим: $11^2 - 5^2 = 121 - 25 = 96$. Это решение подходит.

4. Если $x=8$ и $y=12$:

   $p_1 = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Число 10 не является простым, так как $10=2 \cdot 5$.

Таким образом, единственное решение для числа 96 найдено.

Ответ: $96 = 11^2 - 5^2$.

42. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

а) двух чётных чисел;

Давайте разберемся, какой будет сумма двух чётных чисел. Чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – натуральное число. Возьмём два чётных числа: $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$. Их сумма будет равна $S = a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$.
Как видно из формулы, сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом, так как она делится на 2.
Простое число – это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное чётное простое число – это 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, ...) – нечётные.
Следовательно, единственным простым числом, которое могло бы быть суммой двух чётных чисел, является число 2. Однако, если мы говорим о натуральных (положительных) чётных числах (2, 4, 6, ...), то наименьшая возможная сумма двух таких чисел – это $2 + 2 = 4$. Любая другая сумма двух натуральных чётных чисел будет больше 4.
Таким образом, сумма двух натуральных чётных чисел всегда является чётным числом, большим или равным 4. Любое чётное число, большее 2, является составным (делится на 1, на себя и на 2). Значит, записать простое число в виде суммы двух чётных чисел нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

б) двух нечётных чисел;

Рассмотрим сумму двух нечётных чисел. Нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ – целое неотрицательное число. Возьмём два нечётных числа: $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$.
Их сумма будет равна $S = a + b = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$.
Из формулы видно, что сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Единственное чётное простое число – это 2. Все остальные простые числа нечётные, и поэтому их нельзя представить в виде суммы двух нечётных чисел.
Проверим, можно ли представить число 2 в виде такой суммы. Да, можно, если взять наименьшее натуральное нечётное число 1: $1 + 1 = 2$.
Число 2 является простым, а число 1 – нечётным. Таким образом, мы нашли пример простого числа, которое можно записать в виде суммы двух нечётных чисел.
Ответ: да, можно. Например, $2 = 1 + 1$.

в) чётного и нечётного чисел?

Рассмотрим сумму чётного и нечётного числа. Пусть чётное число равно $a = 2k_1$, а нечётное число равно $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ - натуральное, а $k_2$ - неотрицательное целое.
Их сумма будет равна $S = a + b = 2k_1 + (2k_2 + 1) = 2(k_1 + k_2) + 1$.
Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$ (например, 3, 5, 7, 11 и так далее).
Можно ли представить $p$ в виде суммы чётного и нечётного натуральных чисел? Да, можно. Например, можно взять самое маленькое натуральное чётное число 2. Тогда $p = 2 + (p-2)$.
Поскольку $p$ – нечётное число и $p > 2$, то $p-2$ также будет нечётным натуральным числом.
Примеры:
$3 = 2 + 1$ (2 – чётное, 1 – нечётное).
$5 = 2 + 3$ (2 – чётное, 3 – нечётное).
$7 = 4 + 3$ (4 – чётное, 3 – нечётное).
$13 = 6 + 7$ (6 – чётное, 7 – нечётное).
Таким образом, любое нечётное простое число можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел.
Ответ: да, можно.

43. Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: $p = n^2 - n + 41$. Сколько простых чисел даёт эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.

Задача состоит в том, чтобы найти, сколько последовательных простых чисел, начиная с $n=1$, генерирует формула Эйлера $p = n^2 - n + 41$. Для этого необходимо последовательно подставлять в формулу натуральные числа $n=1, 2, 3, \ldots$ и проверять, является ли полученное число $p$ простым. Вычисления следует продолжать до тех пор, пока не будет найдено первое составное число.

Выполним вычисления для первых нескольких значений $n$:
При $n=1$: $p = 1^2 - 1 + 41 = 1 - 1 + 41 = 41$. Число 41 является простым.
При $n=2$: $p = 2^2 - 2 + 41 = 4 - 2 + 41 = 43$. Число 43 является простым.
При $n=3$: $p = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$. Число 47 является простым.
При $n=4$: $p = 4^2 - 4 + 41 = 16 - 4 + 41 = 53$. Число 53 является простым.
При $n=5$: $p = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$. Число 61 является простым.

Чтобы найти первое составное число, не перебирая все значения подряд, проанализируем саму формулу. Обозначим многочлен как $p(n) = n^2 - n + 41$. Его можно представить в виде $p(n) = n(n-1) + 41$.

Заметим, что если значение $n$ подставить таким образом, чтобы одно из слагаемых делилось на 41, то и вся сумма может оказаться кратной 41. Рассмотрим значение $n=41$.

Подставим $n=41$ в формулу: $p(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2 = 1681$.

Число $1681$ является составным, так как оно имеет делители 1, 41 и 1681. Следовательно, при $n=41$ формула впервые даёт составное число.

Это означает, что для всех натуральных чисел $n$ от 1 до 40 включительно формула $p = n^2 - n + 41$ генерирует простые числа. Таким образом, количество простых чисел, которые даёт формула подряд, начиная с $n=1$, равно 40.

Ответ: 40.

Доказываем (44–45).

44. Докажите, что найдётся такое натуральное число $n$, для которого $n^2 - n + 41$ является составным числом.

Требуется доказать, что существует натуральное число $n$, для которого выражение $n^2 - n + 41$ является составным.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. То есть оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Для доказательства достаточно найти одно конкретное значение $n$, при котором результат будет составным.

Рассмотрим данное выражение $f(n) = n^2 - n + 41$. Мы можем вынести $n$ за скобки в первых двух членах:

$f(n) = n(n - 1) + 41$

Чтобы число $f(n)$ было составным, оно должно делиться на какое-то число, кроме 1 и самого себя. Попробуем подобрать такое $n$, чтобы выражение $f(n)$ делилось на 41.

Из вида $n(n - 1) + 41$ видно, что если слагаемое $n(n - 1)$ будет делиться на 41, то и вся сумма будет делиться на 41. Это произойдет, если либо $n$, либо $(n-1)$ будет кратно 41.

Выберем самый простой случай: пусть $n = 41$. Так как 41 — натуральное число, этот выбор корректен. Подставим это значение в наше выражение:

$f(41) = 41^2 - 41 + 41$

Упростив, получаем:

$f(41) = 41^2 = 1681$

Число 1681 имеет делителем число 41. Так как $1681 = 41 \times 41$, и $41 \neq 1$, и $41 \neq 1681$, то число 1681 является составным.

Таким образом, мы нашли натуральное число $n = 41$, при котором значение выражения $n^2 - n + 41$ является составным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: при $n = 41$ выражение $n^2 - n + 41$ равно $41^2 = 1681$, что является составным числом.

45. а) Докажите, что одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.

б) Известно, что $p$, $p + 2$, $p + 4$ — простые числа. Найдите $p$. Докажите, что других $p$ не существует.

а) Пусть у нас есть три последовательных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда три последовательных нечётных числа можно записать как $2k+1$, $2k+3$ и $2k+5$.
Рассмотрим остатки от деления на 3 для первого числа $2k+1$. Существует три возможных случая:

1. Первое число делится на 3. В этом случае утверждение доказано.
2. Первое число при делении на 3 даёт в остатке 1. То есть, $2k+1 = 3m+1$ для некоторого целого $m$.
   Тогда второе число равно $(2k+1)+2 = (3m+1)+2 = 3m+3 = 3(m+1)$. Это число делится на 3. В этом случае утверждение доказано.
3. Первое число при делении на 3 даёт в остатке 2. То есть, $2k+1 = 3m+2$ для некоторого целого $m$.
   Тогда третье число равно $(2k+1)+4 = (3m+2)+4 = 3m+6 = 3(m+2)$. Это число делится на 3. В этом случае утверждение также доказано.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них одно из трёх последовательных нечётных чисел обязательно делится на 3. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим тройку чисел $p$, $p+2$, $p+4$.

Сначала проверим единственное чётное простое число $p=2$.
Если $p=2$, то тройка чисел будет: 2, 4, 6. В этой тройке числа 4 и 6 не являются простыми. Значит, $p=2$ не является решением.

Следовательно, $p$ должно быть нечётным простым числом. В этом случае $p$, $p+2$ и $p+4$ — это три последовательных нечётных числа.

Из пункта а) мы знаем, что одно из трёх последовательных нечётных чисел должно делиться на 3. Так как $p$, $p+2$ и $p+4$ — простые числа, то одно из них должно быть равно 3 (поскольку 3 — единственное простое число, которое делится на 3).

Рассмотрим три возможных варианта:

1. $p=3$. В этом случае тройка чисел: 3, $3+2=5$, $3+4=7$. Числа 3, 5 и 7 являются простыми. Значит, $p=3$ — это решение.
2. $p+2=3$. В этом случае $p=1$. Число 1 не является простым по определению.
3. $p+4=3$. В этом случае $p=-1$. Простое число не может быть отрицательным.

Таким образом, единственно возможным решением является $p=3$.

Теперь докажем, что других решений не существует. Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2.

• Если $p$ при делении на 3 даёт остаток 1, то $p$ можно записать в виде $p=3k+1$ для некоторого натурального $k$. Тогда $p+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$. Поскольку $p>3$, то $k \geq 1$, значит $k+1 \geq 2$. Следовательно, число $p+2$ делится на 3 и больше 3, а значит, оно не является простым.
• Если $p$ при делении на 3 даёт остаток 2, то $p$ можно записать в виде $p=3k+2$ для некоторого натурального $k$. Тогда $p+4 = (3k+2)+4 = 3k+6 = 3(k+2)$. Поскольку $p>3$ (например, $p=5=3\cdot1+2$), то $k \geq 1$, значит $k+2 \geq 3$. Следовательно, число $p+4$ делится на 3 и больше 3, а значит, оно не является простым.

Мы доказали, что для любого простого $p > 3$ одно из чисел $p+2$ или $p+4$ будет составным. Следовательно, не существует других простых $p$, для которых числа $p, p+2, p+4$ были бы одновременно простыми.
Ответ: $p=3$.