Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

26. Вычислите:

а) $2^3$;

б) $5^2$;

в) $3^4$;

г) $4^3$;

д) $2^4$;

е) $99^1$.

а) Для вычисления $2^3$ необходимо умножить число 2 само на себя 3 раза. Это называется возведением в степень, где 2 — основание, а 3 — показатель степени.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: 8.

б) Для вычисления $5^2$ (читается как "пять в квадрате") необходимо умножить число 5 само на себя 2 раза.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: 25.

в) Для вычисления $3^4$ необходимо умножить число 3 само на себя 4 раза.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \cdot 3 = 81$.
Или можно сгруппировать: $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 9 \cdot 9 = 81$.
Ответ: 81.

г) Для вычисления $4^3$ (читается как "четыре в кубе") необходимо умножить число 4 само на себя 3 раза.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64.

д) Для вычисления $2^4$ необходимо умножить число 2 само на себя 4 раза.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16.

е) Согласно свойству степени, любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе.
$99^1 = 99$.
Ответ: 99.

27. Верно ли равенство:

а) $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3;$

б) $7^{10} \cdot 8^{10} = (7 \cdot 8)^{10},

в) $(2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4;$

г) $2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7?`

Чтобы определить, верны ли равенства, необходимо использовать свойства степеней. Основное свойство, которое применяется во всех этих примерах, — это свойство возведения произведения в степень и умножения степеней с одинаковыми показателями: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Проверим равенство $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3$.
Согласно свойству умножения степеней с одинаковыми показателями, $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае $a=2$, $b=3$ и $n=3$. Применяя это правило к левой части, получаем: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3$. Таким образом, равенство основано на свойстве степеней.
Для проверки можно вычислить значения обеих частей:
Левая часть: $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.
Правая часть: $(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$.
Поскольку $216 = 216$, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

Проверим равенство $7^{10} \cdot 8^{10} = (7 \cdot 8)^{10}$.
Это равенство также является прямым применением свойства $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Здесь основаниями являются $a=7$ и $b=8$, а показатель степени $n=10$. Произведение степеней с одинаковым показателем равно степени произведения оснований с тем же показателем. Таким образом, равенство является верным исходя из свойств степеней.
Ответ: да, равенство верно.

Проверим равенство $(2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.
Здесь используется свойство возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. В данном случае $a=2$, $b=5$ и $n=4$. Левая часть равенства полностью соответствует левой части свойства, а правая — правой.
Проверим вычислением:
Левая часть: $(2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.
Правая часть: $2^4 \cdot 5^4 = 16 \cdot 625 = 10000$.
Поскольку $10000 = 10000$, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

Проверим равенство $2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7$.
Как и в предыдущих случаях, это равенство основано на свойстве умножения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Здесь $a=2$, $b=5$ и $n=7$. Левая часть $2^7 \cdot 5^7$ преобразуется в $(2 \cdot 5)^7$, что соответствует правой части.
Для проверки можно также вычислить правую часть: $(2 \cdot 5)^7 = 10^7 = 10\ 000\ 000$. Левая часть по свойству степеней также равна $10^7$.
Ответ: да, равенство верно.

28. Запишите произведение в виде степени числа 10:

а) $2 \cdot 5$;

б) $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$;

в) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$;

г) $2^6 \cdot 5^6$.

Для решения этой задачи используется свойство степеней: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем. Математически это записывается так: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В нашем случае, мы будем использовать это свойство для оснований 2 и 5, так как их произведение равно 10 ($2 \cdot 5 = 10$).

а) $2 \cdot 5$

Это произведение равно 10. Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $10$ можно записать как $10^1$.

$2 \cdot 5 = 10 = 10^1$

Ответ: $10^1$

б) $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$

Сначала запишем произведение двоек и пятерок в виде степеней:

$2 \cdot 2 = 2^2$

$5 \cdot 5 = 5^2$

Теперь исходное выражение можно записать как $2^2 \cdot 5^2$. Применим свойство степеней:

$2^2 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^2 = 10^2$

Ответ: $10^2$

в) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

В этом произведении четыре множителя равны 2 и четыре множителя равны 5. Запишем это в виде степеней:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

Исходное выражение принимает вид $2^4 \cdot 5^4$. Используя свойство степеней, получаем:

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4$

Ответ: $10^4$

г) $2^6 \cdot 5^6$

В данном выражении у нас уже есть произведение степеней с одинаковым показателем 6. Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6$

Ответ: $10^6$

29. На какое наименьшее число надо умножить данное число, чтобы результат можно было записать в виде степени числа 10:

а) 2;

б) 5;

в) $2 \cdot 5^2$;

г) $2^2 \cdot 5$;

д) $2^4 \cdot 5^2$;

е) $2^3 \cdot 5^6$;

ж) 20;

з) 50;

и) 250;

к) 80;

л) 25;

м) 16?

Чтобы результат умножения данного числа на некоторый множитель можно было записать в виде степени числа 10, он должен иметь вид $10^n$ для некоторого целого неотрицательного $n$. Разложим 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, любая степень числа 10 имеет вид $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$. Это означает, что в разложении итогового числа на простые множители должны присутствовать только двойки и пятерки, причем их степени должны быть равны.

Для каждого данного числа $A$ мы должны найти наименьший множитель $B$, чтобы произведение $A \cdot B$ имело вид $2^n \cdot 5^n$. Для этого сначала разложим число $A$ на простые множители вида $2^x \cdot 5^y$. Затем определим наименьшую возможную степень $n$, до которой нужно "дополнить" степени двоек и пятерок. Эта степень будет равна наибольшей из уже имеющихся степеней: $n = \max(x, y)$. Тогда искомый множитель $B$ будет равен $2^{n-x} \cdot 5^{n-y}$.

а) 2
Данное число равно 2. Его разложение на простые множители: $2^1 \cdot 5^0$. Здесь степени $x=1$, $y=0$.Наибольшая степень $n = \max(1, 0) = 1$.Значит, нам нужно получить число $10^1 = 2^1 \cdot 5^1$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^0$ получить $2^1 \cdot 5^1$, нужно домножить на $2^{1-1} \cdot 5^{1-0} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $2 \cdot 5 = 10 = 10^1$.
Ответ: 5

б) 5
Данное число равно 5. Его разложение на простые множители: $2^0 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=0$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(0, 1) = 1$.Значит, нам нужно получить число $10^1 = 2^1 \cdot 5^1$.Чтобы из $2^0 \cdot 5^1$ получить $2^1 \cdot 5^1$, нужно домножить на $2^{1-0} \cdot 5^{1-1} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $5 \cdot 2 = 10 = 10^1$.
Ответ: 2

в) $2 \cdot 5^2$
Данное число $2^1 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=1$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(1, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-1} \cdot 5^{2-2} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $(2 \cdot 5^2) \cdot 2 = 50 \cdot 2 = 100 = 10^2$.
Ответ: 2

г) $2^2 \cdot 5$
Данное число $2^2 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=2$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(2, 1) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^2 \cdot 5^1$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-2} \cdot 5^{2-1} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $(2^2 \cdot 5) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100 = 10^2$.
Ответ: 5

д) $2^4 \cdot 5^2$
Данное число $2^4 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=4$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(4, 2) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^2$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-2} = 2^0 \cdot 5^2 = 25$.Проверка: $(2^4 \cdot 5^2) \cdot 25 = (16 \cdot 25) \cdot 25 = 400 \cdot 25 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 25

е) $2^3 \cdot 5^6$
Данное число $2^3 \cdot 5^6$. Здесь степени $x=3$, $y=6$.Наибольшая степень $n = \max(3, 6) = 6$.Нам нужно получить число $10^6 = 2^6 \cdot 5^6$.Чтобы из $2^3 \cdot 5^6$ получить $2^6 \cdot 5^6$, нужно домножить на $2^{6-3} \cdot 5^{6-6} = 2^3 \cdot 5^0 = 8$.Проверка: $(2^3 \cdot 5^6) \cdot 8 = (8 \cdot 15625) \cdot 8 = 125000 \cdot 8 = 1000000 = 10^6$.
Ответ: 8

ж) 20
Разложим 20 на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=2$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(2, 1) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^2 \cdot 5^1$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-2} \cdot 5^{2-1} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $20 \cdot 5 = 100 = 10^2$.
Ответ: 5

з) 50
Разложим 50 на простые множители: $50 = 2 \cdot 25 = 2^1 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=1$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(1, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-1} \cdot 5^{2-2} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $50 \cdot 2 = 100 = 10^2$.
Ответ: 2

и) 250
Разложим 250 на простые множители: $250 = 10 \cdot 25 = (2 \cdot 5) \cdot 5^2 = 2^1 \cdot 5^3$. Здесь степени $x=1$, $y=3$.Наибольшая степень $n = \max(1, 3) = 3$.Нам нужно получить число $10^3 = 2^3 \cdot 5^3$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^3$ получить $2^3 \cdot 5^3$, нужно домножить на $2^{3-1} \cdot 5^{3-3} = 2^2 \cdot 5^0 = 4$.Проверка: $250 \cdot 4 = 1000 = 10^3$.
Ответ: 4

к) 80
Разложим 80 на простые множители: $80 = 10 \cdot 8 = (2 \cdot 5) \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=4$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(4, 1) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^1$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-1} = 2^0 \cdot 5^3 = 125$.Проверка: $80 \cdot 125 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 125

л) 25
Разложим 25 на простые множители: $25 = 5^2 = 2^0 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=0$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(0, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^0 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-0} \cdot 5^{2-2} = 2^2 \cdot 5^0 = 4$.Проверка: $25 \cdot 4 = 100 = 10^2$.
Ответ: 4

м) 16
Разложим 16 на простые множители: $16 = 2^4 = 2^4 \cdot 5^0$. Здесь степени $x=4$, $y=0$.Наибольшая степень $n = \max(4, 0) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^0$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-0} = 2^0 \cdot 5^4 = 625$.Проверка: $16 \cdot 625 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 625

30. Верно ли равенство:

а) $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$;

б) $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$;

в) $2^7 \cdot 2 = 2^8$;

г) $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3 = 3^{10}$?

а) Для проверки верности равенства $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=3$ и $n=5$.
Применяя правило, складываем показатели степеней: $3 + 5 = 8$.
Таким образом, левая часть равенства преобразуется к виду $2^{3+5} = 2^8$.
Так как $2^8 = 2^8$, равенство является верным.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$, используя то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Здесь основание $a=5$, показатели степеней $m=2$ и $n=3$.
Складываем показатели: $2 + 3 = 5$.
Следовательно, $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$.
Равенство $5^5 = 5^5$ является верным.
Ответ: верно.

в) Рассмотрим равенство $2^7 \cdot 2 = 2^8$.
Любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $2 = 2^1$.
Тогда левая часть равенства принимает вид $2^7 \cdot 2^1$.
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=7$, $n=1$.
Складываем показатели: $7 + 1 = 8$.
Получаем $2^7 \cdot 2^1 = 2^{7+1} = 2^8$.
Так как $2^8 = 2^8$, равенство является верным.
Ответ: верно.

г) Проверим верность равенства $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3 = 3^{10}$.
Правило умножения степеней с одинаковым основанием распространяется и на произведение трех и более множителей: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.
Представим множитель 3 как $3^1$. Тогда левая часть равенства будет $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^1$.
Основание у всех множителей одинаковое и равно 3. Сложим их показатели: $4 + 5 + 1 = 10$.
Следовательно, $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^1 = 3^{4+5+1} = 3^{10}$.
Равенство $3^{10} = 3^{10}$ является верным.
Ответ: верно.

31. Запишите произведение в виде степени:

а) $2^4 \cdot 2^3;$

б) $3^5 \cdot 3^2;$

в) $4^2 \cdot 4^5;$

г) $5^7 \cdot 5;$

д) $6 \cdot 6^3;$

е) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2;$

ж) $3 \cdot 3^2 \cdot 3^3;$

з) $4 \cdot 4^5 \cdot 4;$

и) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3.$

а) Чтобы записать произведение $2^4 \cdot 2^3$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном выражении основание равно 2. Складываем показатели степеней: $4 + 3 = 7$.
Следовательно, $2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$.
Ответ: $2^7$.

б) Для произведения $3^5 \cdot 3^2$ применяется то же свойство. Основание степени равно 3. Складываем показатели: $5 + 2 = 7$.
Таким образом, $3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$.
Ответ: $3^7$.

в) В выражении $4^2 \cdot 4^5$ основание степени равно 4. Складываем показатели степеней: $2 + 5 = 7$.
В результате получаем: $4^2 \cdot 4^5 = 4^{2+5} = 4^7$.
Ответ: $4^7$.

г) В произведении $5^7 \cdot 5$ второй множитель 5 можно представить как степень с показателем 1, то есть $5 = 5^1$. Основание степени равно 5. Складываем показатели: $7 + 1 = 8$.
Следовательно, $5^7 \cdot 5 = 5^7 \cdot 5^1 = 5^{7+1} = 5^8$.
Ответ: $5^8$.

д) В произведении $6 \cdot 6^3$ первый множитель 6 можно представить как $6^1$. Основание степени равно 6. Складываем показатели: $1 + 3 = 4$.
Таким образом, $6 \cdot 6^3 = 6^1 \cdot 6^3 = 6^{1+3} = 6^4$.
Ответ: $6^4$.

е) В выражении $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2$ все множители имеют одинаковое основание 2. Множитель 2 можно записать как $2^1$. Свойство умножения степеней распространяется на любое количество множителей: $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$. Складываем все показатели: $5 + 3 + 1 = 9$.
В результате получаем: $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 = 2^{5+3+1} = 2^9$.
Ответ: $2^9$.

ж) Для произведения $3 \cdot 3^2 \cdot 3^3$ основание равно 3. Представляем 3 как $3^1$. Складываем показатели: $1 + 2 + 3 = 6$.
Следовательно, $3 \cdot 3^2 \cdot 3^3 = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 = 3^{1+2+3} = 3^6$.
Ответ: $3^6$.

з) В выражении $4 \cdot 4^5 \cdot 4$ основание равно 4. Каждый множитель 4 можно представить как $4^1$. Складываем все показатели: $1 + 5 + 1 = 7$.
Таким образом, $4 \cdot 4^5 \cdot 4 = 4^1 \cdot 4^5 \cdot 4^1 = 4^{1+5+1} = 4^7$.
Ответ: $4^7$.

и) Для произведения $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3$ основание равно 5. Представляем множитель 5 как $5^1$. Складываем показатели: $1 + 2 + 3 = 6$.
В результате получаем: $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 = 5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 = 5^{1+2+3} = 5^6$.
Ответ: $5^6$.

32. Верно ли равенство:

а) $(2^3)^2 = 2^6$;

б) $(3^5)^6 = 3^{30}$;

в) $(3^3)^3 = 3^9$;

г) $(5^4)^2 = 5^8?

а)

Чтобы проверить, верно ли равенство $(2^3)^2 = 2^6$, нужно использовать свойство возведения степени в степень. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. Формула выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило к левой части нашего равенства:

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Полученный результат $2^6$ совпадает с правой частью равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

б)

Проверим равенство $(3^5)^6 = 3^{30}$. Воспользуемся тем же свойством степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем левую часть равенства:

$(3^5)^6 = 3^{5 \cdot 6} = 3^{30}$.

Левая часть равна правой ($3^{30} = 3^{30}$), значит, равенство верно.

Ответ: верно.

в)

Проверим равенство $(3^3)^3 = 3^9$. Применяем правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Выполним преобразование для левой части:

$(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.

Результат $3^9$ совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: верно.

г)

Проверим последнее равенство $(5^4)^2 = 5^8$. Снова используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем левую часть:

$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$.

Левая часть равна правой ($5^8 = 5^8$), следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

33. Используя свойство 3 степеней, запишите в виде степени:

a) $(2^2)^3$;

б) $(3^4)^2$;

в) $(3^7)^2$;

г) $(5^3)^4$;

д) $(10^3)^5$;

е) $(7^2)^4$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Оно гласит, что при возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются. В виде формулы это свойство записывается так:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

а) $(2^2)^3$

Применяем указанное свойство. Основание степени равно 2, показатели степеней — 2 и 3. Перемножаем показатели: $2 \cdot 3 = 6$.

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Ответ: $2^6$

б) $(3^4)^2$

Основание степени равно 3, показатели степеней — 4 и 2. Перемножаем показатели: $4 \cdot 2 = 8$.

$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

Ответ: $3^8$

в) $(3^7)^2$

Основание степени равно 3, показатели степеней — 7 и 2. Перемножаем показатели: $7 \cdot 2 = 14$.

$(3^7)^2 = 3^{7 \cdot 2} = 3^{14}$

Ответ: $3^{14}$

г) $(5^3)^4$

Основание степени равно 5, показатели степеней — 3 и 4. Перемножаем показатели: $3 \cdot 4 = 12$.

$(5^3)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12}$

Ответ: $5^{12}$

д) $(10^3)^5$

Основание степени равно 10, показатели степеней — 3 и 5. Перемножаем показатели: $3 \cdot 5 = 15$.

$(10^3)^5 = 10^{3 \cdot 5} = 10^{15}$

Ответ: $10^{15}$

е) $(7^2)^4$

Основание степени равно 7, показатели степеней — 2 и 4. Перемножаем показатели: $2 \cdot 4 = 8$.

$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$

Ответ: $7^8$