Номер 27, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.2. Степень числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 27, страница 9.

Условие.

27. Верно ли равенство:

а) $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3;$

б) $7^{10} \cdot 8^{10} = (7 \cdot 8)^{10},

в) $(2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4;$

г) $2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7?`

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы определить, верны ли равенства, необходимо использовать свойства степеней. Основное свойство, которое применяется во всех этих примерах, — это свойство возведения произведения в степень и умножения степеней с одинаковыми показателями: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

а)

Проверим равенство $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3$.
Согласно свойству умножения степеней с одинаковыми показателями, $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае $a=2$, $b=3$ и $n=3$. Применяя это правило к левой части, получаем: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3$. Таким образом, равенство основано на свойстве степеней.
Для проверки можно вычислить значения обеих частей:
Левая часть: $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.
Правая часть: $(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$.
Поскольку $216 = 216$, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

б)

Проверим равенство $7^{10} \cdot 8^{10} = (7 \cdot 8)^{10}$.
Это равенство также является прямым применением свойства $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Здесь основаниями являются $a=7$ и $b=8$, а показатель степени $n=10$. Произведение степеней с одинаковым показателем равно степени произведения оснований с тем же показателем. Таким образом, равенство является верным исходя из свойств степеней.
Ответ: да, равенство верно.

в)

Проверим равенство $(2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.
Здесь используется свойство возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. В данном случае $a=2$, $b=5$ и $n=4$. Левая часть равенства полностью соответствует левой части свойства, а правая — правой.
Проверим вычислением:
Левая часть: $(2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.
Правая часть: $2^4 \cdot 5^4 = 16 \cdot 625 = 10000$.
Поскольку $10000 = 10000$, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

г)

Проверим равенство $2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7$.
Как и в предыдущих случаях, это равенство основано на свойстве умножения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Здесь $a=2$, $b=5$ и $n=7$. Левая часть $2^7 \cdot 5^7$ преобразуется в $(2 \cdot 5)^7$, что соответствует правой части.
Для проверки можно также вычислить правую часть: $(2 \cdot 5)^7 = 10^7 = 10\ 000\ 000$. Левая часть по свойству степеней также равна $10^7$.
Ответ: да, равенство верно.