Номер 29, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.2. Степень числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 29, страница 9.

Условие.

29. На какое наименьшее число надо умножить данное число, чтобы результат можно было записать в виде степени числа 10:

а) 2;

б) 5;

в) $2 \cdot 5^2$;

г) $2^2 \cdot 5$;

д) $2^4 \cdot 5^2$;

е) $2^3 \cdot 5^6$;

ж) 20;

з) 50;

и) 250;

к) 80;

л) 25;

м) 16?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы результат умножения данного числа на некоторый множитель можно было записать в виде степени числа 10, он должен иметь вид $10^n$ для некоторого целого неотрицательного $n$. Разложим 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, любая степень числа 10 имеет вид $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$. Это означает, что в разложении итогового числа на простые множители должны присутствовать только двойки и пятерки, причем их степени должны быть равны.

Для каждого данного числа $A$ мы должны найти наименьший множитель $B$, чтобы произведение $A \cdot B$ имело вид $2^n \cdot 5^n$. Для этого сначала разложим число $A$ на простые множители вида $2^x \cdot 5^y$. Затем определим наименьшую возможную степень $n$, до которой нужно "дополнить" степени двоек и пятерок. Эта степень будет равна наибольшей из уже имеющихся степеней: $n = \max(x, y)$. Тогда искомый множитель $B$ будет равен $2^{n-x} \cdot 5^{n-y}$.

а) 2
Данное число равно 2. Его разложение на простые множители: $2^1 \cdot 5^0$. Здесь степени $x=1$, $y=0$.Наибольшая степень $n = \max(1, 0) = 1$.Значит, нам нужно получить число $10^1 = 2^1 \cdot 5^1$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^0$ получить $2^1 \cdot 5^1$, нужно домножить на $2^{1-1} \cdot 5^{1-0} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $2 \cdot 5 = 10 = 10^1$.
Ответ: 5

б) 5
Данное число равно 5. Его разложение на простые множители: $2^0 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=0$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(0, 1) = 1$.Значит, нам нужно получить число $10^1 = 2^1 \cdot 5^1$.Чтобы из $2^0 \cdot 5^1$ получить $2^1 \cdot 5^1$, нужно домножить на $2^{1-0} \cdot 5^{1-1} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $5 \cdot 2 = 10 = 10^1$.
Ответ: 2

в) $2 \cdot 5^2$
Данное число $2^1 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=1$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(1, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-1} \cdot 5^{2-2} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $(2 \cdot 5^2) \cdot 2 = 50 \cdot 2 = 100 = 10^2$.
Ответ: 2

г) $2^2 \cdot 5$
Данное число $2^2 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=2$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(2, 1) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^2 \cdot 5^1$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-2} \cdot 5^{2-1} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $(2^2 \cdot 5) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100 = 10^2$.
Ответ: 5

д) $2^4 \cdot 5^2$
Данное число $2^4 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=4$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(4, 2) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^2$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-2} = 2^0 \cdot 5^2 = 25$.Проверка: $(2^4 \cdot 5^2) \cdot 25 = (16 \cdot 25) \cdot 25 = 400 \cdot 25 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 25

е) $2^3 \cdot 5^6$
Данное число $2^3 \cdot 5^6$. Здесь степени $x=3$, $y=6$.Наибольшая степень $n = \max(3, 6) = 6$.Нам нужно получить число $10^6 = 2^6 \cdot 5^6$.Чтобы из $2^3 \cdot 5^6$ получить $2^6 \cdot 5^6$, нужно домножить на $2^{6-3} \cdot 5^{6-6} = 2^3 \cdot 5^0 = 8$.Проверка: $(2^3 \cdot 5^6) \cdot 8 = (8 \cdot 15625) \cdot 8 = 125000 \cdot 8 = 1000000 = 10^6$.
Ответ: 8

ж) 20
Разложим 20 на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=2$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(2, 1) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^2 \cdot 5^1$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-2} \cdot 5^{2-1} = 2^0 \cdot 5^1 = 5$.Проверка: $20 \cdot 5 = 100 = 10^2$.
Ответ: 5

з) 50
Разложим 50 на простые множители: $50 = 2 \cdot 25 = 2^1 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=1$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(1, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-1} \cdot 5^{2-2} = 2^1 \cdot 5^0 = 2$.Проверка: $50 \cdot 2 = 100 = 10^2$.
Ответ: 2

и) 250
Разложим 250 на простые множители: $250 = 10 \cdot 25 = (2 \cdot 5) \cdot 5^2 = 2^1 \cdot 5^3$. Здесь степени $x=1$, $y=3$.Наибольшая степень $n = \max(1, 3) = 3$.Нам нужно получить число $10^3 = 2^3 \cdot 5^3$.Чтобы из $2^1 \cdot 5^3$ получить $2^3 \cdot 5^3$, нужно домножить на $2^{3-1} \cdot 5^{3-3} = 2^2 \cdot 5^0 = 4$.Проверка: $250 \cdot 4 = 1000 = 10^3$.
Ответ: 4

к) 80
Разложим 80 на простые множители: $80 = 10 \cdot 8 = (2 \cdot 5) \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 5^1$. Здесь степени $x=4$, $y=1$.Наибольшая степень $n = \max(4, 1) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^1$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-1} = 2^0 \cdot 5^3 = 125$.Проверка: $80 \cdot 125 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 125

л) 25
Разложим 25 на простые множители: $25 = 5^2 = 2^0 \cdot 5^2$. Здесь степени $x=0$, $y=2$.Наибольшая степень $n = \max(0, 2) = 2$.Нам нужно получить число $10^2 = 2^2 \cdot 5^2$.Чтобы из $2^0 \cdot 5^2$ получить $2^2 \cdot 5^2$, нужно домножить на $2^{2-0} \cdot 5^{2-2} = 2^2 \cdot 5^0 = 4$.Проверка: $25 \cdot 4 = 100 = 10^2$.
Ответ: 4

м) 16
Разложим 16 на простые множители: $16 = 2^4 = 2^4 \cdot 5^0$. Здесь степени $x=4$, $y=0$.Наибольшая степень $n = \max(4, 0) = 4$.Нам нужно получить число $10^4 = 2^4 \cdot 5^4$.Чтобы из $2^4 \cdot 5^0$ получить $2^4 \cdot 5^4$, нужно домножить на $2^{4-4} \cdot 5^{4-0} = 2^0 \cdot 5^4 = 625$.Проверка: $16 \cdot 625 = 10000 = 10^4$.
Ответ: 625