Номер 30, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.2. Степень числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 30, страница 9.

Условие.

30. Верно ли равенство:

а) $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$;

б) $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$;

в) $2^7 \cdot 2 = 2^8$;

г) $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3 = 3^{10}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для проверки верности равенства $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=3$ и $n=5$.
Применяя правило, складываем показатели степеней: $3 + 5 = 8$.
Таким образом, левая часть равенства преобразуется к виду $2^{3+5} = 2^8$.
Так как $2^8 = 2^8$, равенство является верным.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$, используя то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Здесь основание $a=5$, показатели степеней $m=2$ и $n=3$.
Складываем показатели: $2 + 3 = 5$.
Следовательно, $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$.
Равенство $5^5 = 5^5$ является верным.
Ответ: верно.

в) Рассмотрим равенство $2^7 \cdot 2 = 2^8$.
Любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $2 = 2^1$.
Тогда левая часть равенства принимает вид $2^7 \cdot 2^1$.
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=7$, $n=1$.
Складываем показатели: $7 + 1 = 8$.
Получаем $2^7 \cdot 2^1 = 2^{7+1} = 2^8$.
Так как $2^8 = 2^8$, равенство является верным.
Ответ: верно.

г) Проверим верность равенства $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3 = 3^{10}$.
Правило умножения степеней с одинаковым основанием распространяется и на произведение трех и более множителей: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.
Представим множитель 3 как $3^1$. Тогда левая часть равенства будет $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^1$.
Основание у всех множителей одинаковое и равно 3. Сложим их показатели: $4 + 5 + 1 = 10$.
Следовательно, $3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^1 = 3^{4+5+1} = 3^{10}$.
Равенство $3^{10} = 3^{10}$ является верным.
Ответ: верно.