Номер 22, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.2. Степень числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 22, страница 8.

Условие.

22. Чему равно произведение степеней с одним и тем же показателем? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени, основание которой является произведением оснований исходных степеней, а показатель остается тем же.

Это свойство можно записать в виде формулы. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n верно равенство:

$$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$

Чтобы доказать это правило, достаточно расписать степени по определению. Степень $a^n$ — это произведение n множителей, каждый из которых равен a. Аналогично, $b^n$ — это произведение n множителей, равных b.

$$a^n \cdot b^n = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ множителей}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ множителей}}$$

Используя переместительный и сочетательный законы умножения, можно сгруппировать множители по-другому, объединив их в пары (a и b):

$$\underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ пар}}$$

Это выражение по определению степени равно $(a \cdot b)^n$. Таким образом, формула доказана.

Примеры

1. Вычислим произведение $4^2 \cdot 5^2$.

Поскольку показатели степеней одинаковы (равны 2), мы можем применить правило:

$$4^2 \cdot 5^2 = (4 \cdot 5)^2 = 20^2 = 400$$

Для проверки можно вычислить каждую степень отдельно: $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Тогда $16 \cdot 25 = 400$. Результаты совпадают.

2. Упростим выражение $2^7 \cdot x^7$.

Показатели равны 7. Перемножаем основания 2 и x:

$$2^7 \cdot x^7 = (2 \cdot x)^7 = (2x)^7$$

3. Найдем значение выражения $(\frac{1}{2})^3 \cdot 6^3$.

Применяем правило умножения степеней с одинаковыми показателями:

$$(\frac{1}{2})^3 \cdot 6^3 = (\frac{1}{2} \cdot 6)^3 = (\frac{6}{2})^3 = 3^3 = 27$$

Ответ: Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем, основание которой равно произведению оснований множителей. В виде формулы это записывается так: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.