Номер 17, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 17, страница 7.

Условие.

17. Натуральное число $n$ делится на натуральное число $p(p > 1)$. Докажите, что число $n + 1$ не делится на $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

По условию задачи, натуральное число $n$ делится на натуральное число $p$, где $p > 1$.

То, что $n$ делится на $p$ (или, иначе говоря, $n$ кратно $p$), означает, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство:

$n = k \cdot p$

Наша задача — доказать, что число $n + 1$ не делится на $p$.

Рассмотрим выражение $n + 1$. Подставим в него значение $n$ из предыдущего равенства:

$n + 1 = (k \cdot p) + 1$

Это равенство по определению деления с остатком означает, что при делении числа $n + 1$ на число $p$ частное равно $k$, а остаток равен 1.

Число делится нацело на $p$ тогда и только тогда, когда остаток от деления этого числа на $p$ равен 0. В нашем случае остаток равен 1. Поскольку по условию $p > 1$, остаток не может быть равен 0.

Следовательно, число $n + 1$ не делится на $p$.

Доказательство методом от противного:

Предположим обратное: пусть $n + 1$ делится на $p$. Тогда существует такое натуральное число $m$, что $n + 1 = m \cdot p$.

Мы имеем систему из двух уравнений:

1) $n = k \cdot p$ (из условия)

2) $n + 1 = m \cdot p$ (из нашего предположения)

Вычтем из второго уравнения первое:

$(n + 1) - n = m \cdot p - k \cdot p$

$1 = (m - k) \cdot p$

Из этого равенства следует, что $p$ является делителем числа 1. Так как $p$ — натуральное число, то единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Значит, $p = 1$.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $p > 1$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и число $n + 1$ не делится на $p$.

Ответ: что и требовалось доказать.