Номер 19, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 19, страница 7.

Условие.

19. Произведение первых $n (n \ge 2)$ натуральных чисел обозначают $n!$ и читают «эн факториал»: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n$.

Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

На сколько нулей оканчивается:

а) $10!$; б) $50!$; в) $100!$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для того чтобы определить, на сколько нулей оканчивается число $n!$, необходимо найти, сколько раз число 10 является его множителем. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, каждый ноль в конце числа образуется парой простых множителей: 2 и 5.

В разложении факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$ на простые множители, множитель 2 встречается значительно чаще, чем множитель 5 (поскольку каждое второе число четное, а кратное пяти — только каждое пятое). Поэтому количество нулей в конце числа $n!$ определяется количеством множителей 5 в его разложении.

Чтобы посчитать количество множителей 5, нужно найти сумму количества чисел, кратных 5, кратных $5^2=25$, кратных $5^3=125$ и так далее, не превосходящих $n$. Это соответствует вычислению по формуле Лежандра:$E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots$

а) 10!

Найдем количество множителей 5 в разложении числа $10! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 10$. В диапазоне от 1 до 10 есть два числа, которые делятся на 5: это 5 и 10.

Число 5 дает один множитель 5.

Число 10 ($=2 \cdot 5$) дает еще один множитель 5.

Таким образом, общее количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.

Используя формулу:

$\lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor = 2 + 0 = 2$.

Следовательно, число $10!$ оканчивается на 2 нуля.

Ответ: 2

б) 50!

Найдем количество множителей 5 в разложении числа $50!$. Для этого просуммируем количество чисел, кратных степеням пятерки ($5^1=5$, $5^2=25$, и т.д.), не превосходящих 50.

Количество чисел, кратных 5: $\lfloor \frac{50}{5} \rfloor = 10$.

Количество чисел, кратных 25: $\lfloor \frac{50}{25} \rfloor = 2$.

Чисел, кратных 125 ($=5^3$), в данном диапазоне нет.

Общее количество множителей 5 равно сумме этих значений: $10 + 2 = 12$.

Следовательно, число $50!$ оканчивается на 12 нулей.

Ответ: 12

в) 100!

Найдем количество множителей 5 в разложении числа $100!$ аналогичным способом.

Количество чисел, кратных 5: $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.

Количество чисел, кратных 25: $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.

Количество чисел, кратных 125: $\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$.

Общее количество множителей 5 равно сумме этих значений: $20 + 4 = 24$.

Следовательно, число $100!$ оканчивается на 24 нуля.

Ответ: 24