Номер 18, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 18, страница 7.

Условие.

18. Выписали первые 99 натуральных чисел: 1, 2, ..., 99. Запятые стёрли и получили натуральное число.

а) Сколько раз в записи этого числа встречается цифра: 0, 1, 2, 3, ..., 9?

б) Делится ли это число на 9?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

a)

Чтобы найти, сколько раз встречается каждая цифра от 0 до 9 в записи числа, полученного последовательной записью натуральных чисел от 1 до 99, разобьем эти числа на две группы: однозначные (от 1 до 9) и двузначные (от 10 до 99).

1. Однозначные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В этой группе каждая цифра от 1 до 9 встречается ровно один раз. Цифра 0 не встречается.

2. Двузначные числа: от 10 до 99.
Всего таких чисел $99 - 10 + 1 = 90$. Разобьем подсчет по разрядам (десятки и единицы).

Подсчет в разряде десятков:
- цифра 1 встречается в числах от 10 до 19 (10 раз);
- цифра 2 встречается в числах от 20 до 29 (10 раз);
- и так далее до цифры 9, которая встречается в числах от 90 до 99 (10 раз).
Таким образом, каждая цифра от 1 до 9 в разряде десятков встречается по 10 раз. Цифра 0 в этом разряде не встречается.

Подсчет в разряде единиц:
В каждом десятке (10-19, 20-29, ..., 90-99) в разряде единиц встречаются все цифры от 0 до 9 по одному разу. Всего таких десятков 9. Следовательно, каждая цифра от 0 до 9 в разряде единиц встречается по 9 раз.

Теперь посчитаем общее количество каждой цифры для чисел от 1 до 99:
Цифра 0: 0 раз в однозначных + 0 раз в десятках + 9 раз в единицах = 9 раз.
Цифры от 1 до 9 (для каждой): 1 раз в однозначных + 10 раз в десятках + 9 раз в единицах = $1 + 10 + 9 = 20$ раз.

Для проверки: общее количество цифр в записи равно (9 чисел × 1 цифра) + (90 чисел × 2 цифры) = $9 + 180 = 189$ цифр. По нашему расчету: (1 цифра '0' × 9 раз) + (9 других цифр × 20 раз) = $9 + 180 = 189$ цифр. Расчеты сходятся.

Ответ: Цифра 0 встречается 9 раз, а каждая из цифр от 1 до 9 встречается 20 раз.

б)

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму $S$ всех цифр в полученном большом числе. Из пункта а) мы знаем, сколько раз встречается каждая цифра:

- цифра 0: 9 раз
- цифра 1: 20 раз
- цифра 2: 20 раз
- ...
- цифра 9: 20 раз

Вычислим сумму $S$, сложив все цифры с учетом их частоты появления:
$S = (0 \times 9) + (1 \times 20) + (2 \times 20) + (3 \times 20) + (4 \times 20) + (5 \times 20) + (6 \times 20) + (7 \times 20) + (8 \times 20) + (9 \times 20)$
Вынесем общий множитель 20 за скобки:
$S = 0 + 20 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)$

Сумма чисел от 1 до 9 равна $45$. Подставляем в формулу:
$S = 20 \times 45 = 900$

Сумма цифр числа равна 900. Теперь проверим, делится ли 900 на 9:
$900 \div 9 = 100$

Поскольку сумма цифр (900) делится на 9 без остатка, то и само исходное большое число делится на 9.

Ответ: Да, это число делится на 9.