Номер 16, страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 16, страница 6.

Условие.

16. Объясните, не выполняя всех вычислений, почему:

a) $357 \cdot 828 + 357 \cdot 936$ делится на 357;

б) $425 \cdot 723 - 315 \cdot 723$ делится на 3; на 5; на 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для того чтобы объяснить, почему выражение $357 \cdot 828 + 357 \cdot 936$ делится на $357$, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, то есть вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем в данном выражении является число $357$.

Вынесем $357$ за скобки: $357 \cdot 828 + 357 \cdot 936 = 357 \cdot (828 + 936)$.

Полученное выражение представляет собой произведение двух множителей: $357$ и суммы $(828 + 936)$. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. В нашем случае один из множителей равен $357$, следовательно, всё выражение делится на $357$ без остатка.

Ответ: Выражение делится на $357$, так как после вынесения общего множителя $357$ за скобки он становится одним из множителей произведения.

б) Рассмотрим выражение $425 \cdot 723 - 315 \cdot 723$. Аналогично пункту а), вынесем общий множитель $723$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$425 \cdot 723 - 315 \cdot 723 = (425 - 315) \cdot 723$.

Вычислим разность в скобках: $425 - 315 = 110$.

Таким образом, исходное выражение равно произведению $110 \cdot 723$. Теперь проверим делимость этого произведения на $3$, $5$ и $15$.

Делимость на 3:
Чтобы произведение делилось на $3$, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на $3$. Проверим множители $110$ и $723$ по признаку делимости на $3$ (сумма цифр должна делиться на $3$).
Сумма цифр числа $723$ равна $7+2+3=12$, а $12$ делится на $3$. Следовательно, число $723$ делится на $3$.
Так как один из множителей ($723$) делится на $3$, то и все произведение $110 \cdot 723$ делится на $3$.

Делимость на 5:
Чтобы произведение делилось на $5$, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на $5$. По признаку делимости на $5$, число должно оканчиваться на $0$ или $5$.
Число $110$ оканчивается на $0$, следовательно, оно делится на $5$.
Так как один из множителей ($110$) делится на $5$, то и все произведение $110 \cdot 723$ делится на $5$.

Делимость на 15:
Число делится на $15$, если оно одновременно делится и на $3$, и на $5$ (поскольку $15 = 3 \cdot 5$, а числа $3$ и $5$ взаимно простые).
Мы уже установили, что выражение $110 \cdot 723$ делится на $3$ (потому что множитель $723$ делится на $3$) и делится на $5$ (потому что множитель $110$ делится на $5$).
Следовательно, все выражение делится на $15$.

Ответ: Выражение делится на $3$, $5$ и $15$, так как после преобразования в произведение $110 \cdot 723$ один из множителей ($110$) делится на $5$, а другой множитель ($723$) делится на $3$, что обеспечивает делимость всего произведения на $3$, $5$ и, как следствие, на $15$.