Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

46. Что называют делителем натурального числа? Назовите делители числа 12.

Что называют делителем натурального числа?

Делителем натурального числа $a$ называют такое натуральное число $b$, на которое число $a$ делится без остатка. Иначе говоря, число $b$ является делителем числа $a$, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$.

Например, число 4 является делителем числа 20, так как $20 \div 4 = 5$, и 5 — это натуральное число. В то же время, число 3 не является делителем 20, так как $20 \div 3$ дает остаток.

Ответ: Делителем натурального числа называют натуральное число, на которое это число делится без остатка.

Назовите делители числа 12.

Чтобы найти все делители числа 12, необходимо найти все натуральные числа, на которые 12 делится нацело (без остатка). Будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1.

$12 \div 1 = 12$ $\implies$ 1 является делителем.
$12 \div 2 = 6$ $\implies$ 2 является делителем.
$12 \div 3 = 4$ $\implies$ 3 является делителем.
$12 \div 4 = 3$ $\implies$ 4 является делителем.
$12 \div 5$ дает остаток, значит 5 не является делителем.
$12 \div 6 = 2$ $\implies$ 6 является делителем.
Числа 7, 8, 9, 10, 11 не делят 12 без остатка, поэтому не являются его делителями.
$12 \div 12 = 1$ $\implies$ 12 является делителем.

Таким образом, мы нашли все натуральные делители числа 12.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

47. Что называют простым делителем натурального числа? Назовите простые делители числа 12.

Что называют простым делителем натурального числа?

Простым делителем натурального числа называют такой его делитель, который является простым числом. Чтобы полностью понять это определение, необходимо разобрать понятия «делитель» и «простое число».

Делителем натурального числа $a$ называется натуральное число $b$, на которое число $a$ делится без остатка. Например, делителями числа 10 являются числа 1, 2, 5 и 10.

Простым числом называется натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя. Примерами простых чисел являются 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Число 10 не является простым, так как кроме 1 и 10 оно также делится на 2 и на 5.

Соответственно, простой делитель числа — это число, которое одновременно удовлетворяет двум условиям: является делителем данного числа и при этом является простым числом. Например, для числа 10 простыми делителями будут 2 и 5.

Ответ: Простым делителем натурального числа называют его делитель, являющийся простым числом.

Назовите простые делители числа 12.

Для нахождения простых делителей числа 12 можно использовать два способа: найти все делители и выбрать из них простые, или разложить число на простые множители.

Способ 1: Поиск среди всех делителей.

1. Сначала найдем все натуральные делители числа 12. Это числа, на которые 12 делится без остатка. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

2. Теперь из этого списка выберем простые числа:

- 1 не является простым числом по определению.

- 2 — простое число (делится только на 1 и на 2).

- 3 — простое число (делится только на 1 и на 3).

- 4 — составное число, так как делится на 2.

- 6 — составное число, так как делится на 2 и на 3.

- 12 — составное число, так как имеет множество делителей.

Таким образом, из всех делителей числа 12 простыми являются только 2 и 3.

Способ 2: Разложение на простые множители.

Этот способ более эффективен для больших чисел. Разложим число 12 на произведение простых множителей. Простые множители — это и есть простые делители.

$12 \div 2 = 6$

$6 \div 2 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Таким образом, разложение числа 12 на простые множители выглядит так: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ или $12 = 2^2 \cdot 3$.

Уникальные простые числа в этом разложении — это 2 и 3. Они и являются простыми делителями числа 12.

Ответ: Простые делители числа 12: 2, 3.

48. Назовите все делители числа:

а) 17;

б) 45;

в) 113;

г) 476;

д) 32.

а) Делители числа 17.
Число 17 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Простые числа имеют ровно два натуральных делителя.
Ответ: 1, 17.

б) Делители числа 45.
Чтобы найти все делители, разложим число 45 на простые множители: $45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^1$.
Делителями будут все возможные произведения этих множителей. Это числа вида $3^a \cdot 5^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1\}$.
Перечислим их:
$3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1$
$3^1 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$
$3^2 \cdot 5^0 = 9 \cdot 1 = 9$
$3^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$
$3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$
$3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$
Расположив их в порядке возрастания, получаем полный список.
Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

в) Делители числа 113.
Проверим, является ли число 113 простым. Для этого нужно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{113} \approx 10.6$. Это простые числа: 2, 3, 5, 7.
- 113 нечетное, значит, на 2 не делится.
- Сумма цифр $1+1+3=5$, не делится на 3, значит, и число не делится на 3.
- Число не оканчивается на 0 или 5, значит, на 5 не делится.
- Проверим деление на 7: $113 = 7 \cdot 16 + 1$. На 7 не делится.
Так как 113 не делится ни на одно простое число до своего корня, оно является простым. Его делителями являются только 1 и само число.
Ответ: 1, 113.

г) Делители числа 476.
Разложим число 476 на простые множители:
$476 \div 2 = 238$
$238 \div 2 = 119$
$119 \div 7 = 17$
$17$ – простое число.
Таким образом, разложение имеет вид: $476 = 2^2 \cdot 7^1 \cdot 17^1$.
Делителями будут все возможные произведения этих множителей. Найдем их, находя все комбинации множителей:
1. Делители из степеней двойки: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4$.
2. Умножим их на 7: $1 \cdot 7 = 7, 2 \cdot 7 = 14, 4 \cdot 7 = 28$.
3. Умножим делители из п.1 на 17: $1 \cdot 17 = 17, 2 \cdot 17 = 34, 4 \cdot 17 = 68$.
4. Умножим делители из п.2 на 17: $7 \cdot 17 = 119, 14 \cdot 17 = 238, 28 \cdot 17 = 476$.
Соберем все уникальные делители и расположим их по возрастанию.
Ответ: 1, 2, 4, 7, 14, 17, 28, 34, 68, 119, 238, 476.

д) Делители числа 32.
Разложим число 32 на простые множители. Это число является степенью двойки: $32 = 2^5$.
Следовательно, его делителями будут все степени двойки от нулевой до пятой:
$2^0 = 1$
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

49. Найдите все простые делители числа:

а) 19;

б) 54;

в) 112;

г) 232.

Для того чтобы найти все простые делители числа, необходимо разложить это число на простые множители. Простые множители и будут являться простыми делителями числа.

а) 19

Число 19 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Это означает, что у него есть только один простой делитель — само число 19.

Ответ: 19.

б) 54

Разложим число 54 на простые множители.
Сначала делим на наименьший простой делитель 2, так как 54 — четное число:
$54 : 2 = 27$
Теперь разложим 27. Сумма его цифр $2 + 7 = 9$ делится на 3, значит, и само число делится на 3:
$27 : 3 = 9$
Число 9 также делится на 3:
$9 : 3 = 3$
Число 3 является простым.
Таким образом, разложение числа 54 на простые множители выглядит так: $54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3$.
Простыми делителями числа 54 являются уникальные множители из этого разложения: 2 и 3.

Ответ: 2, 3.

в) 112

Разложим число 112 на простые множители.
Число 112 четное, делим его последовательно на 2:
$112 : 2 = 56$
$56 : 2 = 28$
$28 : 2 = 14$
$14 : 2 = 7$
Число 7 является простым.
Таким образом, разложение числа 112 на простые множители: $112 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
Простыми делителями числа 112 являются уникальные множители: 2 и 7.

Ответ: 2, 7.

г) 232

Разложим число 232 на простые множители.
Число 232 четное, делим его последовательно на 2:
$232 : 2 = 116$
$116 : 2 = 58$
$58 : 2 = 29$
Число 29 является простым (не делится на 2, 3, 5).
Таким образом, разложение числа 232 на простые множители: $232 = 2 \times 2 \times 2 \times 29 = 2^3 \times 29$.
Простыми делителями числа 232 являются уникальные множители: 2 и 29.

Ответ: 2, 29.

50. Напишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 2 и 5, и пять натуральных чисел, не обладающих этим свойством.

Пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 2 и 5

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 может быть представлено в виде произведения простых чисел. Условие, что число не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, означает, что его разложение на простые множители может содержать только двойки и пятерки. Таким образом, любое такое число $N$ можно представить в виде формулы:
$N = 2^m \cdot 5^n$
где $m$ и $n$ — целые неотрицательные числа, причем они не равны нулю одновременно (иначе мы получим $2^0 \cdot 5^0 = 1$, которое формально подходит, но обычно ищут числа больше 1).

Приведем пять примеров, подставляя разные значения $m$ и $n$:
1. При $m=1, n=0$: $N = 2^1 \cdot 5^0 = 2$. Простой делитель — 2.
2. При $m=0, n=1$: $N = 2^0 \cdot 5^1 = 5$. Простой делитель — 5.
3. При $m=1, n=1$: $N = 2^1 \cdot 5^1 = 10$. Простые делители — 2 и 5.
4. При $m=3, n=1$: $N = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$. Простые делители — 2 и 5.
5. При $m=2, n=2$: $N = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Простые делители — 2 и 5.

Ответ: 2, 5, 10, 40, 100.

Пять натуральных чисел, не обладающих этим свойством

Числа, не обладающие указанным свойством, — это натуральные числа, которые в своем разложении на простые множители имеют хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5. Например, это может быть 3, 7, 11, 13 и так далее.

Приведем пять примеров таких чисел:
1. Число 3: это простое число, его единственный простой делитель — 3.
2. Число 6: $6 = 2 \cdot 3$. В разложении есть простой делитель 3.
3. Число 12: $12 = 2^2 \cdot 3$. В разложении есть простой делитель 3.
4. Число 15: $15 = 3 \cdot 5$. В разложении есть простой делитель 3.
5. Число 21: $21 = 3 \cdot 7$. В разложении есть простые делители 3 и 7.

Ответ: 3, 6, 12, 15, 21.

51. Приведите примеры натуральных чисел, имеющих делители 3 и 4. Какие делители, кроме указанных, имеют выбранные натуральные числа?

Приведите примеры натуральных чисел, имеющих делители 3 и 4

Чтобы натуральное число имело делители 3 и 4, оно должно делиться нацело одновременно и на 3, и на 4. Это означает, что число должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Поскольку числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), их НОК вычисляется как их произведение:

$НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$

Следовательно, любое число, кратное 12, будет иметь в качестве делителей числа 3 и 4.

В качестве примеров можно привести числа, кратные 12: 12, 24, 36.

Ответ: 12, 24, 36.

Какие делители, кроме указанных, имеют выбранные натуральные числа

Рассмотрим делители для каждого из выбранных в предыдущем пункте чисел и найдем все, кроме 3 и 4.

Для числа 12:
Все делители числа 12 — это числа, на которые 12 делится без остатка. Это: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
За исключением 3 и 4, остаются делители: 1, 2, 6, 12.

Для числа 24:
Все делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
За исключением 3 и 4, остаются делители: 1, 2, 6, 8, 12, 24.

Для числа 36:
Все делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
За исключением 3 и 4, остаются делители: 1, 2, 6, 9, 12, 18, 36.

Ответ: для числа 12 другими делителями являются 1, 2, 6, 12; для числа 24 — 1, 2, 6, 8, 12, 24; для числа 36 — 1, 2, 6, 9, 12, 18, 36.

52. Приведите примеры натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 3 и 5.

Чтобы найти натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 3 и 5, нужно понять, что это означает. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел единственным способом (с точностью до порядка сомножителей). Условие задачи означает, что в разложении искомых чисел на простые множители могут встречаться только числа 3 и 5.

Следовательно, любое такое число $N$ должно иметь вид:

$N = 3^m \cdot 5^n$

где $m$ и $n$ — целые неотрицательные числа ($m \ge 0$, $n \ge 0$).

Приведем несколько примеров, подставляя различные значения для $m$ и $n$.

1. Случаи, когда один из показателей равен нулю.

• Пусть $n=0$. Тогда числа будут степенями тройки. Их единственный простой делитель — это 3.
  При $m=1, n=0$: $N = 3^1 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. (Простые делители: {3})
  При $m=2, n=0$: $N = 3^2 \cdot 5^0 = 9 \cdot 1 = 9$. (Простые делители: {3})
  При $m=3, n=0$: $N = 3^3 \cdot 5^0 = 27 \cdot 1 = 27$. (Простые делители: {3})

• Пусть $m=0$. Тогда числа будут степенями пятерки. Их единственный простой делитель — это 5.
  При $m=0, n=1$: $N = 3^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$. (Простые делители: {5})
  При $m=0, n=2$: $N = 3^0 \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25$. (Простые делители: {5})
  При $m=0, n=3$: $N = 3^0 \cdot 5^3 = 1 \cdot 125 = 125$. (Простые делители: {5})

2. Случаи, когда оба показателя больше нуля.

В этих случаях у чисел будет два простых делителя: 3 и 5.

• При $m=1, n=1$: $N = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=2, n=1$: $N = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=1, n=2$: $N = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$. (Простые делители: {3, 5})

• При $m=3, n=2$: $N = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675$. (Простые делители: {3, 5})

3. Особый случай.

При $m=0$ и $n=0$: $N = 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1$. Число 1 не имеет простых делителей, поэтому формально оно удовлетворяет условию (у него нет других простых делителей, кроме 3 и 5, так как их вообще нет).

Таким образом, можно привести множество примеров.

Ответ: Примерами таких чисел являются 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 125, 225 и так далее. Любое число вида $3^m \cdot 5^n$ будет верным ответом.

53. Найдите все делители чисел: $2, 6, 12, 28, 48, 100$.

2

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка.Число 2 является простым, так как оно имеет только два делителя: 1 и само себя.Проверим:
$2 \div 1 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Следовательно, у числа 2 всего два делителя.

Ответ: 1, 2.

6

Чтобы найти все делители числа 6, будем последовательно проверять деление на натуральные числа, начиная с 1. Если число $d$ является делителем, то и результат деления $6 \div d$ также будет делителем.$6 \div 1 = 6$ (делители 1 и 6)
$6 \div 2 = 3$ (делители 2 и 3)
Следующее число для проверки — 3, но оно уже было найдено. Это значит, что мы перечислили все делители.Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

12

Для нахождения всех делителей числа 12, будем проверять деление на натуральные числа, начиная с 1, и записывать найденные пары делителей.
$12 \div 1 = 12$ (делители: 1 и 12)
$12 \div 2 = 6$ (делители: 2 и 6)
$12 \div 3 = 4$ (делители: 3 и 4)
Следующее число для проверки — 4, но оно уже найдено в паре с 3. Это означает, что мы нашли все делители.Соберем все найденные делители и запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

28

Найдем все делители числа 28, используя метод парных делителей.
$28 \div 1 = 28$ (делители: 1 и 28)
$28 \div 2 = 14$ (делители: 2 и 14)
Число 28 не делится на 3, так как сумма его цифр $2+8=10$ не делится на 3.
$28 \div 4 = 7$ (делители: 4 и 7)
Число 28 не делится на 5 и на 6.
Следующий делитель — 7, который уже найден. Значит, мы нашли все делители.Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

48

Найдем все делители числа 48. Будем проверять деление на натуральные числа, начиная с 1, и записывать пары делителей.
$48 \div 1 = 48$ (делители: 1 и 48)
$48 \div 2 = 24$ (делители: 2 и 24)
$48 \div 3 = 16$ (делители: 3 и 16)
$48 \div 4 = 12$ (делители: 4 и 12)
Число 48 не делится на 5.
$48 \div 6 = 8$ (делители: 6 и 8)
Число 48 не делится на 7.
Следующее число для проверки — 8, оно уже найдено. Значит, все делители найдены.Перечислим их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

100

Найдем все делители числа 100.
$100 \div 1 = 100$ (делители: 1 и 100)
$100 \div 2 = 50$ (делители: 2 и 50)
$100 \div 4 = 25$ (делители: 4 и 25)
$100 \div 5 = 20$ (делители: 5 и 20)
$100 \div 10 = 10$ (делитель: 10). В этом случае делитель и частное равны. Так как мы дошли до "середины" ($\sqrt{100}=10$), все делители найдены.Запишем все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

54. Найдите все простые делители чисел:

а) 4, 9, 15, 10, 24;

б) 46, 50, 58, 99, 128;

в) 196, 254, 400, 625, 10 000;

г) 7, 77, 777, 7777, 77 777.

а)

Для того чтобы найти все простые делители чисел, необходимо разложить каждое из них на простые множители.

Для числа 4: разложение на простые множители $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$. Единственным простым делителем является число 2.

Для числа 9: разложение на простые множители $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$. Единственным простым делителем является число 3.

Для числа 15: разложение на простые множители $15 = 3 \cdot 5$. Простыми делителями являются числа 3 и 5.

Для числа 10: разложение на простые множители $10 = 2 \cdot 5$. Простыми делителями являются числа 2 и 5.

Для числа 24: разложение на простые множители $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^3 \cdot 3$. Простыми делителями являются числа 2 и 3.

Ответ: для 4: 2; для 9: 3; для 15: 3, 5; для 10: 2, 5; для 24: 2, 3.

б)

Разложим каждое число из данного списка на простые множители.

Для числа 46: $46 = 2 \cdot 23$. Числа 2 и 23 являются простыми. Простые делители: 2, 23.

Для числа 50: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$. Простые делители: 2, 5.

Для числа 58: $58 = 2 \cdot 29$. Числа 2 и 29 являются простыми. Простые делители: 2, 29.

Для числа 99: $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Простые делители: 3, 11.

Для числа 128: $128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2^6 = 2^7$. Единственный простой делитель: 2.

Ответ: для 46: 2, 23; для 50: 2, 5; для 58: 2, 29; для 99: 3, 11; для 128: 2.

в)

Находим простые делители путем разложения чисел на простые множители.

Для числа 196: $196 = 2 \cdot 98 = 2^2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 7^2$. Простые делители: 2, 7.

Для числа 254: $254 = 2 \cdot 127$. Число 127 является простым. Простые делители: 2, 127.

Для числа 400: $400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$. Простые делители: 2, 5.

Для числа 625: $625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5^4$. Единственный простой делитель: 5.

Для числа 10 000: $10\ 000 = 100^2 = (10^2)^2 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$. Простые делители: 2, 5.

Ответ: для 196: 2, 7; для 254: 2, 127; для 400: 2, 5; для 625: 5; для 10 000: 2, 5.

г)

Выполним разложение на простые множители для каждого из чисел.

Для числа 7: число 7 является простым. Его единственный простой делитель – это 7.

Для числа 77: $77 = 7 \cdot 11$. Простые делители: 7, 11.

Для числа 777: $777 = 7 \cdot 111 = 7 \cdot 3 \cdot 37$. Простые делители: 3, 7, 37.

Для числа 7777: $7777 = 7 \cdot 1111 = 7 \cdot 11 \cdot 101$. Простые делители: 7, 11, 101.

Для числа 77 777: $77\ 777 = 7 \cdot 11111 = 7 \cdot 41 \cdot 271$. Простые делители: 7, 41, 271.

Ответ: для 7: 7; для 77: 7, 11; для 777: 3, 7, 37; для 7777: 7, 11, 101; для 77 777: 7, 41, 271.

55. Разложите на простые множители числа, т. е. запишите число в виде произведения степеней простых чисел:

а) 16, 18, 26;

б) 35, 48, 72;

в) 144, 210, 800;

г) 216, 343, 384;

д) 1024, 1728, 1575;

е) 9225, 1001, 1739.

a) Разложим на простые множители числа 16, 18, 26.

Для числа 16:
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Следовательно, разложение числа 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Для числа 18:
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Следовательно, разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Для числа 26:
$26 \div 2 = 13$
13 является простым числом.
Следовательно, разложение числа 26 на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$.

Ответ: $16 = 2^4$; $18 = 2 \cdot 3^2$; $26 = 2 \cdot 13$.

б) Разложим на простые множители числа 35, 48, 72.

Для числа 35:
$35 \div 5 = 7$
7 является простым числом.
Следовательно, $35 = 5 \cdot 7$.

Для числа 48:
$48 \div 2 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
3 является простым числом.
Следовательно, $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Для числа 72:
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
3 является простым числом.
Следовательно, $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$.

Ответ: $35 = 5 \cdot 7$; $48 = 2^4 \cdot 3$; $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

в) Разложим на простые множители числа 144, 210, 800.

Для числа 144:
$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$.
Или по шагам: $144 \div 2 = 72$; $72 \div 2 = 36$; $36 \div 2 = 18$; $18 \div 2 = 9$; $9 \div 3 = 3$.
Следовательно, $144 = 2^4 \cdot 3^2$.

Для числа 210:
$210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)$.
Следовательно, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для числа 800:
$800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2$.
Или по шагам: $800 \div 2 = 400$; $400 \div 2 = 200$; $200 \div 2 = 100$; $100 \div 2 = 50$; $50 \div 2 = 25$; $25 \div 5 = 5$.
Следовательно, $800 = 2^5 \cdot 5^2$.

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$; $800 = 2^5 \cdot 5^2$.

г) Разложим на простые множители числа 216, 343, 384.

Для числа 216:
$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.
Или по шагам: $216 \div 2 = 108$; $108 \div 2 = 54$; $54 \div 2 = 27$; $27 \div 3 = 9$; $9 \div 3 = 3$.
Следовательно, $216 = 2^3 \cdot 3^3$.

Для числа 343:
Проверим деление на простые числа. $343$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7:
$343 \div 7 = 49$
$49 = 7^2$.
Следовательно, $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$.

Для числа 384:
$384 \div 2 = 192$; $192 \div 2 = 96$; $96 \div 2 = 48$; $48 \div 2 = 24$; $24 \div 2 = 12$; $12 \div 2 = 6$; $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $384 = 2^7 \cdot 3$.

Ответ: $216 = 2^3 \cdot 3^3$; $343 = 7^3$; $384 = 2^7 \cdot 3$.

д) Разложим на простые множители числа 1024, 1728, 1575.

Для числа 1024:
Это известная степень двойки.
$1024 = 2^{10}$.

Для числа 1728:
Это куб числа 12.
$1728 = 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = (2^2)^3 \cdot 3^3 = 2^6 \cdot 3^3$.
Или по шагам: $1728 \div 2 = 864$; $864 \div 2 = 432$; $432 \div 2 = 216$; $216 = 2^3 \cdot 3^3$.
Итого: $1728 = 2^3 \cdot (2^3 \cdot 3^3) = 2^6 \cdot 3^3$.

Для числа 1575:
$1575 \div 5 = 315$
$315 \div 5 = 63$
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
Следовательно, $1575 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Ответ: $1024 = 2^{10}$; $1728 = 2^6 \cdot 3^3$; $1575 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

е) Разложим на простые множители числа 9225, 1001, 1739.

Для числа 9225:
$9225 \div 5 = 1845$
$1845 \div 5 = 369$
Сумма цифр 369 равна 18, значит, число делится на 9: $369 \div 9 = 41$.
41 является простым числом.
Следовательно, $9225 = 5^2 \cdot 9 \cdot 41 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 41$.

Для числа 1001:
Проверим деление на простые числа. $1001$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7:
$1001 = 700 + 301 = 7 \cdot 100 + 7 \cdot 43 = 7 \cdot 143$.
Теперь разложим 143. Проверим 11:
$143 = 110 + 33 = 11 \cdot 10 + 11 \cdot 3 = 11 \cdot 13$.
13 является простым числом.
Следовательно, $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Для числа 1739:
Проверим деление на простые числа: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
$\sqrt{1739} \approx 41.7$. Нужно проверять простые числа до 41.
$1739 \div 37 = 47$.
Числа 37 и 47 являются простыми.
Следовательно, $1739 = 37 \cdot 47$.

Ответ: $9225 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 41$; $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$; $1739 = 37 \cdot 47$.

56. Сколько чисел от 1 до 100:

а) делится на 2;

б) делится на 5;

в) делится на 2 и на 5;

г) не делится на 2 и на 5?

а) делятся на 2

Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 2, необходимо общее количество чисел (100) разделить на 2. Это связано с тем, что каждое второе число в натуральном ряду является четным, то есть делится на 2.

Расчет: $100 \div 2 = 50$.

Ответ: 50 чисел.

б) делятся на 5

Аналогично, чтобы найти количество чисел, делящихся на 5, нужно разделить 100 на 5. Каждое пятое число в диапазоне от 1 до 100 будет делиться на 5.

Расчет: $100 \div 5 = 20$.

Ответ: 20 чисел.

в) делятся на 2 и на 5

Если число делится одновременно и на 2, и на 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 2 и 5 являются взаимно простыми числами, их НОК равен их произведению.

НОК(2, 5) = $2 \times 5 = 10$.

Следовательно, нам нужно найти количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 10.

Расчет: $100 \div 10 = 10$.

Ответ: 10 чисел.

г) не делятся на 2 и на 5

Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5, воспользуемся принципом включений-исключений. Сначала найдем количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (то есть на 2 или на 5).

Количество чисел, делящихся на 2 или на 5, равно сумме количеств чисел, делящихся на 2 и делящихся на 5, минус количество чисел, которые делятся на оба числа одновременно (чтобы не посчитать их дважды).

Количество чисел, делящихся на 2: 50 (из пункта а).

Количество чисел, делящихся на 5: 20 (из пункта б).

Количество чисел, делящихся и на 2, и на 5: 10 (из пункта в).

Чисел, делящихся на 2 или на 5: $50 + 20 - 10 = 60$.

Всего в диапазоне от 1 до 100 ровно 100 чисел. Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5, нужно из общего количества чисел вычесть те, что делятся на 2 или на 5.

Расчет: $100 - 60 = 40$.

Ответ: 40 чисел.

57. Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на $2$, ни на $3$?

Для решения этой задачи мы определим, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 2, сколько на 3, а затем используем принцип включения-исключения, чтобы найти, сколько чисел не делится ни на одно из них.

1. Количество чисел, делящихся на 2

Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, кратных 2, нужно 100 разделить на 2 и взять целую часть от результата (хотя в данном случае деление целочисленное).

$K_2 = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

Таким образом, 50 чисел от 1 до 100 делятся на 2.

2. Количество чисел, делящихся на 3

Аналогично найдем количество чисел, кратных 3:

$K_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

Таким образом, 33 числа от 1 до 100 делятся на 3.

3. Количество чисел, делящихся одновременно на 2 и на 3

Если число делится и на 2, и на 3, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное, которое равно $2 \times 3 = 6$.

Найдем количество чисел, кратных 6:

$K_{2 \text{ и } 3} = K_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

Эти 16 чисел были посчитаны дважды: и в группе делящихся на 2, и в группе делящихся на 3.

4. Количество чисел, делящихся на 2 или на 3

Чтобы найти общее количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3), мы сложим количества чисел, делящихся на 2 и на 3, и вычтем количество чисел, делящихся на оба числа одновременно (чтобы избежать двойного счета).

$K_{2 \text{ или } 3} = K_2 + K_3 - K_{2 \text{ и } 3} = 50 + 33 - 16 = 67$

Итак, 67 чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3.

5. Количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3

Наконец, чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, мы вычтем из общего количества чисел (100) количество чисел, которые делятся на 2 или на 3.

$N = 100 - K_{2 \text{ или } 3} = 100 - 67 = 33$

Ответ: 33