Страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

34. Какое число называют простым; составным?

простым

Простым числом называют натуральное число (целое положительное число), которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Например, число $7$ является простым, так как оно делится без остатка только на $1$ и на $7$. Другие примеры простых чисел: $2, 3, 5, 11, 13, 17$.

Важно отметить, что число $1$ не является ни простым, ни составным, поскольку у него только один делитель. Число $2$ — это самое маленькое и единственное чётное простое число.

Ответ: Простым называют натуральное число больше $1$, которое имеет только два делителя: $1$ и само себя.

составным

Составным числом называют натуральное число, которое больше $1$ и не является простым. Иными словами, составное число имеет больше двух делителей. Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей.

Например, число $12$ является составным, так как, помимо $1$ и $12$, оно также делится на $2, 3, 4, 6$. Таким образом, у него шесть делителей. Его можно разложить на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$. Другие примеры составных чисел: $4, 6, 8, 9, 10$.

Ответ: Составным называют натуральное число больше $1$, которое имеет делители, кроме $1$ и самого себя.

35. Является ли 1 простым числом; составным?

простым числом

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определение простого числа. Простое число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.
Рассмотрим число $1$. У него есть только один натуральный делитель — это само число $1$.
Поскольку у числа $1$ не два различных делителя (а только один), оно не соответствует определению простого числа.
Ответ: нет, число 1 не является простым.

составным

Теперь разберем, является ли $1$ составным числом. Составное число — это натуральное число больше $1$, которое не является простым. Иными словами, это число, у которого более двух натуральных делителей.
Как мы уже выяснили, число $1$ имеет только один делитель. Кроме того, по определению, составные числа, так же как и простые, должны быть строго больше $1$. Число $1$ не удовлетворяет этому условию.
Таким образом, число $1$ не является ни простым, ни составным. Это особая категория чисел в теории чисел, называемая "единицей".
Ответ: нет, число 1 не является составным.

36. Какие из чисел являются простыми, какие — составными:

а) $9$, $12$, $14$, $17$, $28$, $37$, $47$, $69$, $517$;

б) $41$, $57$, $1121$, $793$?

Для определения, является ли число простым или составным, необходимо проверить его делители. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, у которого есть и другие делители.

а)

• 9: составное число, так как делится на 3. $9 = 3 \times 3$.
• 12: составное число, так как оно четное и делится на 2. $12 = 2 \times 6$.
• 14: составное число, так как оно четное и делится на 2. $14 = 2 \times 7$.
• 17: простое число, так как его делители — только 1 и 17.
• 28: составное число, так как оно четное и делится на 2. $28 = 2 \times 14$.
• 37: простое число, так как его делители — только 1 и 37.
• 47: простое число, так как его делители — только 1 и 47.
• 69: составное число. Сумма цифр $6+9=15$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $69 = 3 \times 23$.
• 517: составное число. При проверке делимости на простые числа находим, что оно делится на 11. $517 = 11 \times 47$.

Ответ: простые числа: 17, 37, 47; составные числа: 9, 12, 14, 28, 69, 517.

б)

• 41: простое число, так как его делители — только 1 и 41.
• 57: составное число. Сумма цифр $5+7=12$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $57 = 3 \times 19$.
• 1121: составное число. Проверка на простые делители показывает, что $1121 = 19 \times 59$.
• 793: составное число. Проверка на простые делители показывает, что $793 = 13 \times 61$.

Ответ: простое число: 41; составные числа: 57, 1121, 793.

37. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ПРОСТЫМИ ЧИСЛА $1000011$; $20012345$; $111111111$?

1 000 011

Чтобы определить, является ли число простым, нужно проверить, есть ли у него делители, кроме 1 и самого себя. Для больших чисел удобно использовать признаки делимости.

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Найдем сумму цифр числа 1 000 011: $1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3$

Сумма цифр равна 3. Так как 3 делится на 3, то и само число 1 000 011 делится на 3. $1 000 011 \div 3 = 333 337$

Поскольку число 1 000 011 имеет делитель 3, оно не является простым.

Ответ: число 1 000 011 не является простым.

20 012 345

Проверим это число на простоту, используя признаки делимости.

Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

Число 20 012 345 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5. $20 012 345 \div 5 = 4 002 469$

Поскольку число 20 012 345 имеет делитель 5, оно не является простым.

Ответ: число 20 012 345 не является простым.

111 111 111

Проверим это число на простоту, используя признак делимости на 3.

Найдем сумму цифр числа 111 111 111. Оно состоит из девяти единиц. $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9$

Сумма цифр равна 9. Так как 9 делится на 3, то и само число 111 111 111 делится на 3. Более того, так как сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9. $111 111 111 \div 9 = 12 345 679$

Поскольку число 111 111 111 имеет делители 3 и 9, оно не является простым.

Ответ: число 111 111 111 не является простым.