Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

58. Что называют положительным рациональным числом (дробью)?

Положительным рациональным числом (или дробью) называют число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ и знаменатель $q$ являются натуральными числами (то есть целыми положительными числами).

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета: $1, 2, 3, 4, ...$

Таким образом, любое число, которое можно записать как отношение одного натурального числа к другому, является положительным рациональным числом. Например:

• $\frac{3}{5}$ — положительное рациональное число, так как $3$ и $5$ — натуральные числа.
• $7$ — положительное рациональное число, потому что его можно представить в виде дроби $\frac{7}{1}$, где $7$ и $1$ — натуральные числа.
• $0.5$ — положительное рациональное число, так как его можно записать как $\frac{1}{2}$ (или $\frac{5}{10}$), где числитель и знаменатель — натуральные числа.

В более общем смысле, рациональное число — это число вида $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Такое число будет положительным, если $m > 0$. Также дробь будет положительной, если и числитель, и знаменатель — отрицательные целые числа, так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$. Например, $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ — это положительное рациональное число.

Ответ: Положительным рациональным числом называют число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа.

59. Как называют числа $p$ и $q$ в записи дроби $\frac{p}{q}$?

В записи дроби, представленной в виде $\frac{p}{q}$, каждый из компонентов имеет свое определенное название и назначение.

Число $p$, которое расположено над горизонтальной чертой, называется числителем. Числитель показывает, сколько долей (частей) от целого было взято. Например, если торт разрезали на 8 кусков и вы взяли 3, то числитель будет равен 3.

Число $q$, которое расположено под горизонтальной чертой, называется знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных долей (частей) было разделено целое. В примере с тортом знаменатель будет равен 8. Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю ($q \neq 0$), так как деление на ноль не имеет смысла.

Сама горизонтальная черта называется дробной чертой и обозначает операцию деления.

Ответ: В записи дроби $\frac{p}{q}$ число $p$ называют числителем, а число $q$ — знаменателем.

...Т. е. записан дробью $q$.

60. Какую дробь называют несократимой?

Несократимой называют такую обыкновенную дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами. Это означает, что у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.

Математически это условие для дроби $ \frac{p}{q} $ записывается так: наибольший общий делитель (НОД) ее числителя $p$ и знаменателя $q$ равен единице, то есть $НОД(p, q) = 1$. Если это условие выполняется, дробь нельзя упростить (сократить) дальше.

Например, дробь $ \frac{8}{15} $ является несократимой. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $15 = 3 \cdot 5$. У них нет общих множителей, следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Для сравнения, дробь $ \frac{12}{18} $ является сократимой. Ее числитель и знаменатель имеют общие делители, отличные от 1 (например, 2, 3, 6). Их наибольший общий делитель $НОД(12, 18) = 6$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их НОД: $ \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $. Полученная дробь $ \frac{2}{3} $ уже является несократимой, так как $НОД(2, 3) = 1$.

Ответ: Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель равен 1.

61. Можно ли натуральное число записать в виде обыкновенной дроби или конечной десятичной дроби? Приведите примеры.

Да, любое натуральное число можно записать как в виде обыкновенной дроби, так и в виде конечной десятичной дроби.

В виде обыкновенной дроби

Любое натуральное число $N$ можно представить как обыкновенную дробь, если записать это число в числитель, а в знаменатель поставить единицу. Это правило основано на том, что при делении любого числа на 1 получается само это число. Общая формула выглядит так:

$N = \frac{N}{1}$

Примеры:

• Натуральное число 5 можно записать в виде дроби $\frac{5}{1}$.
• Натуральное число 42 можно записать в виде дроби $\frac{42}{1}$.
• Также число можно представить и другими дробями, например, $5 = \frac{10}{2} = \frac{15}{3}$. Все эти записи являются обыкновенными дробями.

Ответ: Да, можно.

В виде конечной десятичной дроби

Любое натуральное число $N$ можно записать в виде конечной десятичной дроби. Для этого необходимо поставить после числа десятичную запятую и дописать ноль (или несколько нулей). Такая дробь называется конечной, так как количество знаков после запятой в ней конечно (ограничено).

Примеры:

• Натуральное число 8 можно записать как конечную десятичную дробь 8,0.
• Натуральное число 157 можно записать как 157,0 или 157,00.

Конечная десятичная дробь является частным случаем обыкновенной дроби, знаменатель которой — это степень числа 10. Например, запись $8,0$ эквивалентна дроби $\frac{80}{10}$, что после сокращения равно 8.

Ответ: Да, можно.

62. В чём заключается основное свойство дроби?

Основное свойство дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная исходной. Это одно из самых важных правил при работе с дробями.

Математически это свойство можно записать следующим образом для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ c $ (где $ c \neq 0 $):

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $ (умножение)

и

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (деление)

Это свойство имеет два основных практических применения.

Приведение дроби к новому знаменателю

Эта операция выполняется путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число (дополнительный множитель). Она необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения.

Например, чтобы привести дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый ($ 12 \div 4 = 3 $), и умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

Дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $ равны.

Сокращение дроби

Эта операция выполняется путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель (число, на которое делятся оба без остатка). Сокращение позволяет упростить дробь. Дробь, которую больше нельзя сократить, называется несократимой.

Например, чтобы сократить дробь $ \frac{8}{20} $, нужно найти их общий делитель. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 8 и 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} $

Дробь $ \frac{2}{5} $ является несократимой и равна исходной дроби $ \frac{8}{20} $.

Таким образом, основное свойство дроби является фундаментальным принципом, который позволяет изменять вид дроби, не изменяя ее значения, что необходимо для выполнения большинства операций с дробями.

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

63. Можно ли записать конечную десятичную дробь в виде $p/q$? Приведите примеры.

Да, любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Это означает, что все конечные десятичные дроби являются рациональными числами.

Это возможно потому, что конечная десятичная дробь по своему определению имеет конечное число ($n$) знаков после запятой, и её всегда можно представить в виде дроби со знаменателем, равным степени числа 10 (то есть $10^n$).

Алгоритм преобразования следующий:

1. В числитель $p$ будущей дроби записать число, которое стоит в десятичной дроби, но без запятой.
2. В знаменатель $q$ будущей дроби записать единицу и столько нулей, сколько цифр стоит после запятой в исходной дроби.
3. При необходимости, сократить полученную дробь.

Примеры:

1. Преобразование дроби 0,5
В десятичной дроби одна цифра после запятой, значит знаменатель равен $10^1 = 10$. Числитель равен 5.
$0,5 = \frac{5}{10}$
Сокращаем дробь на 5:
$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2. Преобразование дроби 2,25
В десятичной дроби две цифры после запятой, значит знаменатель равен $10^2 = 100$. Числитель равен 225.
$2,25 = \frac{225}{100}$
Сокращаем дробь на 25:
$\frac{225}{100} = \frac{9 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{9}{4}$

3. Преобразование дроби 0,125
В десятичной дроби три цифры после запятой, значит знаменатель равен $10^3 = 1000$. Числитель равен 125.
$0,125 = \frac{125}{1000}$
Сокращаем дробь на 125:
$\frac{125}{1000} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{1}{8}$

Ответ: Да, можно. Например: $0,5 = \frac{1}{2}$; $2,25 = \frac{9}{4}$; $0,125 = \frac{1}{8}$.

64. Какую дробь называют правильной; неправильной? Приведите примеры.

Правильная дробь

Дробь называется правильной, если ее числитель (число, стоящее над чертой) меньше ее знаменателя (числа, стоящего под чертой).
Если представить дробь в виде $\frac{a}{b}$, то для правильной дроби должно выполняться условие $a < b$.
Значение правильной дроби всегда меньше единицы.
Примеры:
Дробь $\frac{3}{7}$ — правильная, так как ее числитель $3$ меньше знаменателя $7$.
Дробь $\frac{15}{22}$ — правильная, так как $15 < 22$.
Дробь $\frac{1}{100}$ — правильная, так как $1 < 100$.

Ответ: Правильной называют дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Примеры: $\frac{4}{9}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{11}{12}$.

Неправильная дробь

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Если представить дробь в виде $\frac{a}{b}$, то для неправильной дроби должно выполняться условие $a \ge b$.
Значение неправильной дроби всегда больше или равно единице.
- Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1 (например, $\frac{5}{5} = 1$).
- Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1 (например, $\frac{9}{4} > 1$).
Примеры:
Дробь $\frac{8}{3}$ — неправильная, так как ее числитель $8$ больше знаменателя $3$.
Дробь $\frac{12}{12}$ — неправильная, так как ее числитель $12$ равен знаменателю $12$.
Дробь $\frac{41}{20}$ — неправильная, так как $41 > 20$.

Ответ: Неправильной называют дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Примеры: $\frac{10}{7}$, $\frac{6}{6}$, $\frac{25}{2}$.

65. Разложите числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократите дробь, если возможно:

а) $\frac{12}{35}$; б) $\frac{48}{100}$; в) $\frac{105}{125}$; г) $\frac{24}{36}$;

д) $\frac{56}{100}$; е) $\frac{225}{300}$; ж) $\frac{123}{321}$; з) $\frac{111}{132}$.

а) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{35}$ на простые множители.
Разложение числителя: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $35 = 5 \cdot 7$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{12}{35} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5 \cdot 7}$.
В числителе и знаменателе нет общих простых множителей, поэтому дробь сократить нельзя.
Ответ: $\frac{12}{35}$.

б) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{48}{100}$ на простые множители.
Разложение числителя: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $100 = 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{48}{100} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{12}{25}$.
Ответ: $\frac{12}{25}$.

в) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{105}{125}$ на простые множители.
Разложение числителя: $105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
Разложение знаменателя: $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{105}{125} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{21}{25}$.
Ответ: $\frac{21}{25}$.

г) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{24}{36}$ на простые множители.
Разложение числителя: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Разложение знаменателя: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

д) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{56}{100}$ на простые множители.
Разложение числителя: $56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.
Разложение знаменателя: $100 = 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{56}{100} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 7}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25}$.
Ответ: $\frac{14}{25}$.

е) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{225}{300}$ на простые множители.
Разложение числителя: $225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot 5 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$.
Разложение знаменателя: $300 = 10 \cdot 30 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 10) = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{225}{300} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

ж) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{123}{321}$ на простые множители.
Разложение числителя (сумма цифр 1+2+3=6, делится на 3): $123 = 3 \cdot 41$.
Разложение знаменателя (сумма цифр 3+2+1=6, делится на 3): $321 = 3 \cdot 107$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{123}{321} = \frac{3 \cdot 41}{3 \cdot 107} = \frac{\cancel{3} \cdot 41}{\cancel{3} \cdot 107} = \frac{41}{107}$.
Ответ: $\frac{41}{107}$.

з) Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{111}{132}$ на простые множители.
Разложение числителя (сумма цифр 1+1+1=3, делится на 3): $111 = 3 \cdot 37$.
Разложение знаменателя: $132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Запишем дробь и сократим общие множители: $\frac{111}{132} = \frac{3 \cdot 37}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11} = \frac{\cancel{3} \cdot 37}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot 11} = \frac{37}{44}$.
Ответ: $\frac{37}{44}$.

Сократите дробь (66—67):

66. a) $\frac{16}{24}$;

б) $\frac{240}{1000}$;

в) $\frac{1240}{10000}$;

г) $\frac{1024}{3456}$;

д) $\frac{315}{420}$;

е) $\frac{630}{1470}$;

ж) $\frac{660}{616}$;

з) $\frac{770}{1320}$;

и) $\frac{143}{260}$;

к) $\frac{112}{672}$;

л) $\frac{450}{540}$;

м) $\frac{777}{2121}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{16}{24} $, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 16 и знаменателя 24. НОД(16, 24) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

б) В дроби $ \frac{240}{1000} $ можно сначала сократить на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе: $ \frac{24}{100} $. Теперь числитель и знаменатель являются четными числами. Их наибольший общий делитель равен 4. Разделим их на 4:
$ \frac{24 \div 4}{100 \div 4} = \frac{6}{25} $.
Ответ: $ \frac{6}{25} $

в) Сократим дробь $ \frac{1240}{10000} $. Сначала сократим на 10: $ \frac{124}{1000} $. Оба числа, 124 и 1000, делятся на 4. Выполним деление:
$ 124 \div 4 = 31 $
$ 1000 \div 4 = 250 $
Получаем дробь $ \frac{31}{250} $. Так как 31 - простое число, а 250 на 31 не делится, то дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{31}{250} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{1024}{3456} $ разложим числитель и знаменатель на простые множители.
Числитель $ 1024 $ это степень двойки: $ 1024 = 2^{10} $.
Знаменатель $ 3456 $ можно разложить так: $ 3456 = 32 \cdot 108 = 2^5 \cdot 4 \cdot 27 = 2^5 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 2^7 \cdot 3^3 $.
Теперь сократим дробь на общий множитель $ 2^7 $:
$ \frac{1024}{3456} = \frac{2^{10}}{2^7 \cdot 3^3} = \frac{2^{10-7}}{3^3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $.
Ответ: $ \frac{8}{27} $

д) Сократим дробь $ \frac{315}{420} $. Числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, значит оба делятся на 5:
$ \frac{315 \div 5}{420 \div 5} = \frac{63}{84} $.
Теперь числа 63 и 84 делятся на 21 ($63 = 3 \cdot 21$, $84 = 4 \cdot 21$). Сократим на 21:
$ \frac{63 \div 21}{84 \div 21} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $

е) В дроби $ \frac{630}{1470} $ сократим на 10: $ \frac{63}{147} $. Сумма цифр числителя ($6+3=9$) и знаменателя ($1+4+7=12$) делится на 3, значит, сократим на 3:
$ \frac{63 \div 3}{147 \div 3} = \frac{21}{49} $.
Теперь числитель и знаменатель делятся на 7:
$ \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} $

ж) Сократим дробь $ \frac{660}{616} $. Оба числа четные. Заметим, что оба делятся на 4 ($60 \div 4 = 15$, $16 \div 4 = 4$):
$ 660 \div 4 = 165 $
$ 616 \div 4 = 154 $
Получаем дробь $ \frac{165}{154} $. Разложим числитель и знаменатель на множители: $ 165 = 15 \cdot 11 $ и $ 154 = 14 \cdot 11 $. Сократим на 11:
$ \frac{165 \div 11}{154 \div 11} = \frac{15}{14} $.
Ответ: $ \frac{15}{14} $

з) Сокращаем дробь $ \frac{770}{1320} $. Сначала сокращаем на 10: $ \frac{77}{132} $. Числитель $ 77 = 7 \cdot 11 $. Проверим, делится ли знаменатель 132 на 11. $ 132 \div 11 = 12 $. Значит, сокращаем дробь на 11:
$ \frac{77 \div 11}{132 \div 11} = \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{7}{12} $

и) Чтобы сократить дробь $ \frac{143}{260} $, найдем общие делители. Разложим числитель 143 на множители: $ 143 = 11 \cdot 13 $. Теперь проверим, делится ли знаменатель 260 на 11 или 13. $ 260 = 26 \cdot 10 = 2 \cdot 13 \cdot 10 $. Общий делитель - 13. Сокращаем на 13:
$ \frac{143 \div 13}{260 \div 13} = \frac{11}{20} $.
Ответ: $ \frac{11}{20} $

к) Для сокращения дроби $ \frac{112}{672} $ проверим, не делится ли знаменатель на числитель.
$ 672 \div 112 = 6 $.
Следовательно, мы можем сократить дробь на 112:
$ \frac{112}{672} = \frac{1 \cdot 112}{6 \cdot 112} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

л) Сокращаем дробь $ \frac{450}{540} $. Сначала сократим на 10: $ \frac{45}{54} $. Оба числа, 45 и 54, делятся на 9.
$ 45 = 9 \cdot 5 $
$ 54 = 9 \cdot 6 $
Сократим дробь на 9:
$ \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $

м) Для сокращения дроби $ \frac{777}{2121} $ разложим числитель и знаменатель на множители.
$ 777 = 7 \cdot 111 = 7 \cdot 3 \cdot 37 = 21 \cdot 37 $.
$ 2121 = 21 \cdot 101 $.
Общим множителем является 21. Сократим дробь на 21:
$ \frac{777}{2121} = \frac{21 \cdot 37}{21 \cdot 101} = \frac{37}{101} $.
Числа 37 и 101 являются простыми, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{37}{101} $

67. a) $ \frac{88}{99} $;

б) $ \frac{777}{888} $;

в) $ \frac{123}{205} $;

г) $ \frac{945}{459} $;

д) $ \frac{1212}{2727} $;

е) $ \frac{123123}{327327} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{88}{99} $, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Числитель $ 88 = 8 \times 11 $. Знаменатель $ 99 = 9 \times 11 $. Общим множителем является 11. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 11.
$ \frac{88}{99} = \frac{88 \div 11}{99 \div 11} = \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{9} $

б) Для сокращения дроби $ \frac{777}{888} $ заметим, что числитель можно представить как $ 777 = 7 \times 111 $, а знаменатель как $ 888 = 8 \times 111 $. Общий множитель равен 111.
$ \frac{777}{888} = \frac{7 \times 111}{8 \times 111} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{123}{205} $, найдем НОД для 123 и 205. Разложим числа на простые множители.
Сумма цифр числа 123 ($1+2+3=6$) делится на 3, значит, и само число делится на 3: $ 123 = 3 \times 41 $. Число 41 является простым.
Число 205 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $ 205 = 5 \times 41 $.
НОД(123, 205) = 41.
$ \frac{123}{205} = \frac{123 \div 41}{205 \div 41} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{945}{459} $ найдем НОД(945, 459). Воспользуемся признаками делимости.
Сумма цифр числителя $ 9+4+5=18 $, делится на 9. $ 945 = 9 \times 105 $.
Сумма цифр знаменателя $ 4+5+9=18 $, делится на 9. $ 459 = 9 \times 51 $.
Дробь можно переписать как $ \frac{9 \times 105}{9 \times 51} = \frac{105}{51} $.
Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, и сумма цифр числа 51 ($5+1=6$) делится на 3. Сократим на 3.
$ \frac{105 \div 3}{51 \div 3} = \frac{35}{17} $. Числа 35 и 17 взаимно простые.
Ответ: $ \frac{35}{17} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{1212}{2727} $, заметим, что числитель и знаменатель имеют повторяющиеся блоки цифр.
$ 1212 = 12 \times 101 $.
$ 2727 = 27 \times 101 $.
Сократим дробь на 101: $ \frac{1212}{2727} = \frac{12 \times 101}{27 \times 101} = \frac{12}{27} $.
Теперь сократим дробь $ \frac{12}{27} $. НОД(12, 27) = 3.
$ \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9} $.
Ответ: $ \frac{4}{9} $

е) Для сокращения дроби $ \frac{123123}{327327} $ воспользуемся свойством чисел вида 'abcabc'. Такое число всегда равно $ abc \times 1001 $.
$ 123123 = 123 \times 1001 $.
$ 327327 = 327 \times 1001 $.
Сократим дробь на 1001: $ \frac{123123}{327327} = \frac{123 \times 1001}{327 \times 1001} = \frac{123}{327} $.
Теперь нужно сократить дробь $ \frac{123}{327} $. Проверим делимость на 3.
Сумма цифр числителя: $ 1+2+3=6 $, делится на 3. $ 123 = 3 \times 41 $.
Сумма цифр знаменателя: $ 3+2+7=12 $, делится на 3. $ 327 = 3 \times 109 $.
Сократим дробь на 3: $ \frac{123 \div 3}{327 \div 3} = \frac{41}{109} $. Числа 41 и 109 являются простыми.
Ответ: $ \frac{41}{109} $

68. Проверьте, является ли дробь несократимой:

а) $\frac{13}{21}$;

б) $\frac{62}{81}$;

в) $\frac{94}{98}$;

г) $\frac{125}{250}$;

д) $\frac{17}{10}$;

е) $\frac{63}{91}$;

ж) $\frac{126}{129}$;

з) $\frac{217}{279}$;

и) $\frac{765}{1071}$;

к) $\frac{396}{591}$;

л) $\frac{199}{200}$;

м) $\frac{1999}{2000}$.

Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если НОД числителя и знаменателя больше 1, то дробь является сократимой.

а) Проверим дробь $\frac{13}{21}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.Число 13 является простым, поэтому его делители только 1 и 13.Знаменатель 21 раскладывается на множители: $21 = 3 \cdot 7$.Общих простых множителей у чисел 13 и 21 нет. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.НОД(13, 21) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

б) Проверим дробь $\frac{62}{81}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.$62 = 2 \cdot 31$.$81 = 3^4$.Общих простых множителей у чисел 62 и 81 нет. Следовательно, НОД(62, 81) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

в) Проверим дробь $\frac{94}{98}$.

Числитель 94 и знаменатель 98 являются четными числами, значит, оба делятся на 2.$94 = 2 \cdot 47$.$98 = 2 \cdot 49$.Поскольку у чисел есть общий делитель 2, дробь можно сократить:$\frac{94}{98} = \frac{2 \cdot 47}{2 \cdot 49} = \frac{47}{49}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

г) Проверим дробь $\frac{125}{250}$.

Знаменатель 250 делится на числитель 125, так как $250 = 2 \cdot 125$.Следовательно, дробь можно сократить на 125:$\frac{125}{250} = \frac{1 \cdot 125}{2 \cdot 125} = \frac{1}{2}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

д) Проверим дробь $\frac{17}{10}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.Число 17 является простым.$10 = 2 \cdot 5$.Общих простых множителей у чисел 17 и 10 нет. НОД(17, 10) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

е) Проверим дробь $\frac{63}{91}$.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители.$63 = 3^2 \cdot 7$.Чтобы разложить 91, проверим его делимость на простые числа. $91$ не делится на 2, 3, 5. Проверим 7: $91 \div 7 = 13$. Так что $91 = 7 \cdot 13$.Общий множитель равен 7, значит дробь сократима.$\frac{63}{91} = \frac{7 \cdot 9}{7 \cdot 13} = \frac{9}{13}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

ж) Проверим дробь $\frac{126}{129}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 126: $1+2+6=9$. Число 126 делится на 3.Сумма цифр знаменателя 129: $1+2+9=12$. Число 129 делится на 3.Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой.$\frac{126}{129} = \frac{126 \div 3}{129 \div 3} = \frac{42}{43}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

з) Проверим дробь $\frac{217}{279}$.

Найдем НОД(217, 279) с помощью алгоритма Евклида.$279 = 1 \cdot 217 + 62$.$217 = 3 \cdot 62 + 31$.$62 = 2 \cdot 31 + 0$.НОД(217, 279) = 31. Поскольку НОД не равен 1, дробь сократима.$\frac{217}{279} = \frac{217 \div 31}{279 \div 31} = \frac{7}{9}$.

Ответ: дробь не является несократимой.

и) Проверим дробь $\frac{765}{1071}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 765: $7+6+5=18$. Число 765 делится на 3 и на 9.Сумма цифр знаменателя 1071: $1+0+7+1=9$. Число 1071 делится на 3 и на 9.Поскольку оба числа делятся на 9, дробь является сократимой.

Ответ: дробь не является несократимой.

к) Проверим дробь $\frac{396}{591}$.

Используем признаки делимости.Сумма цифр числителя 396: $3+9+6=18$. Число 396 делится на 3.Сумма цифр знаменателя 591: $5+9+1=15$. Число 591 делится на 3.Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой.

Ответ: дробь не является несократимой.

л) Проверим дробь $\frac{199}{200}$.

Числитель и знаменатель являются последовательными натуральными числами. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты, их НОД всегда равен 1.НОД(199, 200) = 1.

Ответ: дробь является несократимой.

м) Проверим дробь $\frac{1999}{2000}$.

Числитель и знаменатель являются последовательными натуральными числами. Их НОД всегда равен 1.НОД(1999, 2000) = 1.Число 1999 является простым.

Ответ: дробь является несократимой.

69. Запишите данные дроби в виде конечных десятичных дробей и прочитайте полученные десятичные дроби:

а) $ \frac{7}{10}, \frac{17}{100}, \frac{23}{10}; $

б) $ \frac{53}{1000}, \frac{178}{10}, \frac{37481}{10000}; $

в) $ \frac{21}{10000}, \frac{73}{1000000}, \frac{1276}{10000}; $

г) $ \frac{453}{100}, \frac{7269}{100}, \frac{5676}{10}. $

а)

$ \frac{7}{10} $ — чтобы представить эту дробь в виде десятичной, необходимо в числителе (7) отделить запятой один знак справа, так как в знаменателе (10) один ноль. Получаем $0,7$. Читается: ноль целых, семь десятых.
$ \frac{17}{100} $ — в знаменателе два ноля, значит, в числителе (17) отделяем запятой два знака справа. Получаем $0,17$. Читается: ноль целых, семнадцать сотых.
$ \frac{23}{10} $ — в знаменателе один ноль, поэтому в числителе (23) отделяем запятой один знак справа. Получаем $2,3$. Читается: две целых, три десятых.

Ответ: $0,7$ (ноль целых, семь десятых); $0,17$ (ноль целых, семнадцать сотых); $2,3$ (две целых, три десятых).

б)

$ \frac{53}{1000} $ — в знаменателе три ноля. В числителе (53) всего две цифры, поэтому, чтобы отделить три знака, необходимо дописать один ноль слева перед числом. Получаем $0,053$. Читается: ноль целых, пятьдесят три тысячных.
$ \frac{178}{10} $ — в знаменателе один ноль, отделяем в числителе (178) один знак справа. Получаем $17,8$. Читается: семнадцать целых, восемь десятых.
$ \frac{37481}{10000} $ — в знаменателе четыре ноля, отделяем в числителе (37481) четыре знака справа. Получаем $3,7481$. Читается: три целых, семь тысяч четыреста восемьдесят одна десятитысячная.

Ответ: $0,053$ (ноль целых, пятьдесят три тысячных); $17,8$ (семнадцать целых, восемь десятых); $3,7481$ (три целых, семь тысяч четыреста восемьдесят одна десятитысячная).

в)

$ \frac{21}{10000} $ — в знаменателе четыре ноля. В числителе (21) две цифры, поэтому дописываем два ноля слева. Получаем $0,0021$. Читается: ноль целых, двадцать одна десятитысячная.
$ \frac{73}{1000000} $ — в знаменателе шесть нолей. В числителе (73) две цифры, дописываем четыре ноля слева. Получаем $0,000073$. Читается: ноль целых, семьдесят три миллионных.
$ \frac{1276}{10000} $ — в знаменателе четыре ноля, отделяем в числителе (1276) четыре знака справа. Получаем $0,1276$. Читается: ноль целых, одна тысяча двести семьдесят шесть десятитысячных.

Ответ: $0,0021$ (ноль целых, двадцать одна десятитысячная); $0,000073$ (ноль целых, семьдесят три миллионных); $0,1276$ (ноль целых, одна тысяча двести семьдесят шесть десятитысячных).

г)

$ \frac{453}{100} $ — в знаменателе два ноля, отделяем в числителе (453) два знака справа. Получаем $4,53$. Читается: четыре целых, пятьдесят три сотых.
$ \frac{7269}{100} $ — в знаменателе два ноля, отделяем в числителе (7269) два знака справа. Получаем $72,69$. Читается: семьдесят две целых, шестьдесят девять сотых.
$ \frac{5676}{10} $ — в знаменателе один ноль, отделяем в числителе (5676) один знак справа. Получаем $567,6$. Читается: пятьсот шестьдесят семь целых, шесть десятых.

Ответ: $4,53$ (четыре целых, пятьдесят три сотых); $72,69$ (семьдесят две целых, шестьдесят девять сотых); $567,6$ (пятьсот шестьдесят семь целых, шесть десятых).