Номер 57, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 57, страница 13.

Условие.

57. Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на $2$, ни на $3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи мы определим, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 2, сколько на 3, а затем используем принцип включения-исключения, чтобы найти, сколько чисел не делится ни на одно из них.

1. Количество чисел, делящихся на 2

Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, кратных 2, нужно 100 разделить на 2 и взять целую часть от результата (хотя в данном случае деление целочисленное).

$K_2 = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

Таким образом, 50 чисел от 1 до 100 делятся на 2.

2. Количество чисел, делящихся на 3

Аналогично найдем количество чисел, кратных 3:

$K_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

Таким образом, 33 числа от 1 до 100 делятся на 3.

3. Количество чисел, делящихся одновременно на 2 и на 3

Если число делится и на 2, и на 3, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное, которое равно $2 \times 3 = 6$.

Найдем количество чисел, кратных 6:

$K_{2 \text{ и } 3} = K_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

Эти 16 чисел были посчитаны дважды: и в группе делящихся на 2, и в группе делящихся на 3.

4. Количество чисел, делящихся на 2 или на 3

Чтобы найти общее количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3), мы сложим количества чисел, делящихся на 2 и на 3, и вычтем количество чисел, делящихся на оба числа одновременно (чтобы избежать двойного счета).

$K_{2 \text{ или } 3} = K_2 + K_3 - K_{2 \text{ и } 3} = 50 + 33 - 16 = 67$

Итак, 67 чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3.

5. Количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3

Наконец, чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, мы вычтем из общего количества чисел (100) количество чисел, которые делятся на 2 или на 3.

$N = 100 - K_{2 \text{ или } 3} = 100 - 67 = 33$

Ответ: 33