Номер 41, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 41, страница 11.

Условие.

41. Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи представим искомое число $N$ в виде разности квадратов двух простых чисел $p_1$ и $p_2$:

$N = p_1^2 - p_2^2$

Используя формулу разности квадратов, получим:

$N = (p_1 - p_2)(p_1 + p_2)$

Пусть $x = p_1 - p_2$ и $y = p_1 + p_2$. Тогда $N = x \cdot y$. Из этих двух уравнений можно выразить $p_1$ и $p_2$:

$p_1 = \frac{x+y}{2}$

$p_2 = \frac{y-x}{2}$

Чтобы $p_1$ и $p_2$ были целыми числами, необходимо, чтобы $x$ и $y$ имели одинаковую четность (оба были четными или оба нечетными). Поскольку числа 48 и 96 являются четными, их множители $x$ и $y$ должны быть оба четными.

Число 48

Нам нужно найти два простых числа $p_1$ и $p_2$ такие, что $48 = p_1^2 - p_2^2$.

Разложим число 48 на пары четных множителей $(x, y)$, где $x < y$:

• $x=2, y=24$
• $x=4, y=12$
• $x=6, y=8$

Рассмотрим каждую пару:

1. Если $x=2$ и $y=24$:

   $p_1 = \frac{2+24}{2} = \frac{26}{2} = 13$

   $p_2 = \frac{24-2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

   Числа 13 и 11 являются простыми. Проверим: $13^2 - 11^2 = 169 - 121 = 48$. Это решение подходит.

2. Если $x=4$ и $y=12$:

   $p_1 = \frac{4+12}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Число 8 не является простым.

3. Если $x=6$ и $y=8$:

   $p_1 = \frac{6+8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

   $p_2 = \frac{8-6}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Число 1 не является простым.

Таким образом, единственное решение для числа 48 найдено.

Ответ: $48 = 13^2 - 11^2$.

Число 96

Нам нужно найти два простых числа $p_1$ и $p_2$ такие, что $96 = p_1^2 - p_2^2$.

Разложим число 96 на пары четных множителей $(x, y)$, где $x < y$:

• $x=2, y=48$
• $x=4, y=24$
• $x=6, y=16$
• $x=8, y=12$

Рассмотрим каждую пару:

1. Если $x=2$ и $y=48$:

   $p_1 = \frac{2+48}{2} = \frac{50}{2} = 25$. Число 25 не является простым, так как $25=5 \cdot 5$.

2. Если $x=4$ и $y=24$:

   $p_1 = \frac{4+24}{2} = \frac{28}{2} = 14$. Число 14 не является простым, так как $14=2 \cdot 7$.

3. Если $x=6$ и $y=16$:

   $p_1 = \frac{6+16}{2} = \frac{22}{2} = 11$

   $p_2 = \frac{16-6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

   Числа 11 и 5 являются простыми. Проверим: $11^2 - 5^2 = 121 - 25 = 96$. Это решение подходит.

4. Если $x=8$ и $y=12$:

   $p_1 = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Число 10 не является простым, так как $10=2 \cdot 5$.

Таким образом, единственное решение для числа 96 найдено.

Ответ: $96 = 11^2 - 5^2$.