Номер 44, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1.3. Простые и составные числа. Параграф 1. Натуральные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 44, страница 11.

Условие.

Доказываем (44–45).

44. Докажите, что найдётся такое натуральное число $n$, для которого $n^2 - n + 41$ является составным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Требуется доказать, что существует натуральное число $n$, для которого выражение $n^2 - n + 41$ является составным.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. То есть оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Для доказательства достаточно найти одно конкретное значение $n$, при котором результат будет составным.

Рассмотрим данное выражение $f(n) = n^2 - n + 41$. Мы можем вынести $n$ за скобки в первых двух членах:

$f(n) = n(n - 1) + 41$

Чтобы число $f(n)$ было составным, оно должно делиться на какое-то число, кроме 1 и самого себя. Попробуем подобрать такое $n$, чтобы выражение $f(n)$ делилось на 41.

Из вида $n(n - 1) + 41$ видно, что если слагаемое $n(n - 1)$ будет делиться на 41, то и вся сумма будет делиться на 41. Это произойдет, если либо $n$, либо $(n-1)$ будет кратно 41.

Выберем самый простой случай: пусть $n = 41$. Так как 41 — натуральное число, этот выбор корректен. Подставим это значение в наше выражение:

$f(41) = 41^2 - 41 + 41$

Упростив, получаем:

$f(41) = 41^2 = 1681$

Число 1681 имеет делителем число 41. Так как $1681 = 41 \times 41$, и $41 \neq 1$, и $41 \neq 1681$, то число 1681 является составным.

Таким образом, мы нашли натуральное число $n = 41$, при котором значение выражения $n^2 - n + 41$ является составным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: при $n = 41$ выражение $n^2 - n + 41$ равно $41^2 = 1681$, что является составным числом.