Номер 89, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 89, страница 25.

Условие.

89. Может ли период десятичного разложения обыкновенной дроби $6/7$ содержать 8 цифр?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо понять, как формируется и от чего зависит длина периода десятичного разложения обыкновенной дроби.

Длина периода десятичного разложения несократимой обыкновенной дроби $ \frac{p}{q} $ (где $p$ и $q$ — взаимно простые числа, а знаменатель $q$ не содержит простых множителей 2 и 5) определяется исключительно знаменателем $q$. Процесс получения десятичного разложения эквивалентен делению числителя на знаменатель "в столбик".

На каждом шаге деления мы получаем некоторый остаток. Этот остаток не может быть равен нулю (иначе дробь была бы конечной) и не может быть равен или больше знаменателя. Таким образом, при делении на число $q$ возможные ненулевые остатки — это целые числа от $1$ до $q-1$. Всего таких возможных остатков $q-1$.

Как только один из остатков повторится, последовательность цифр в частном также начнет повторяться, образуя период. Поскольку количество возможных остатков ограничено числом $q-1$, повторение неизбежно произойдет не более чем через $q-1$ шагов.

Из этого следует фундаментальное правило: длина периода десятичного разложения несократимой дроби $ \frac{p}{q} $ всегда меньше, чем ее знаменатель $q$.

Теперь применим это правило к дроби $ \frac{6}{7} $:

• Дробь $ \frac{6}{7} $ является несократимой, так как наибольший общий делитель чисел 6 и 7 равен 1.
• Знаменатель дроби $q=7$.

Согласно правилу, максимальная возможная длина периода для этой дроби равна $q-1 = 7-1 = 6$. Следовательно, период десятичного разложения дроби $ \frac{6}{7} $ не может содержать 8 цифр, так как $8 > 6$.

Для полной уверенности, найдем само десятичное разложение, выполнив деление 6 на 7:
$ 6 \div 7 = 0.857142857... = 0.(857142) $
Периодом является последовательность цифр "857142", и его длина действительно равна 6.

Ответ: Нет, не может. Длина периода десятичного разложения несократимой дроби $ \frac{p}{q} $ всегда меньше ее знаменателя $q$. Для дроби $ \frac{6}{7} $ знаменатель равен 7, поэтому максимальная возможная длина периода составляет $7-1=6$ цифр. Число 8 больше 6, поэтому период не может содержать 8 цифр.