Номер 96, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 96, страница 27.

Условие.

96. a) В результате каких действий с целыми числами всегда получается целое число?

б) В результате каких действий с рациональными числами всегда получается рациональное число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Целые числа — это множество чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Проверим, какие из четырех основных арифметических действий, выполненных над двумя целыми числами, всегда приводят к целочисленному результату.

Сложение: Сумма двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $8 + (-3) = 5$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a+b) \in Z$.

Вычитание: Разность двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $5 - 12 = -7$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a-b) \in Z$.

Умножение: Произведение двух любых целых чисел всегда является целым числом. Например, $(-4) \times (-6) = 24$. Если $a \in Z$ и $b \in Z$, то $(a \times b) \in Z$.

Деление: Частное от деления одного целого числа на другое не всегда является целым числом. Например, при делении $7$ на $2$ получается $3.5$, что не является целым числом. Таким образом, множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления.

Следовательно, целое число всегда получается в результате сложения, вычитания и умножения целых чисел.

Ответ: сложение, вычитание, умножение.

б) Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое ненулевое число. Пусть даны два рациональных числа $r_1 = \frac{a}{b}$ и $r_2 = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — целые числа, причем $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Сложение: $r_1 + r_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые, то числитель $(ad + bc)$ является целым числом, а знаменатель $(bd)$ — целым и ненулевым (так как $b \neq 0$ и $d \neq 0$). Значит, сумма всегда является рациональным числом.

Вычитание: $r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Аналогично сложению, результат разности всегда является рациональным числом.

Умножение: $r_1 \times r_2 = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Произведение $ac$ — целое число, а произведение $bd$ — целое ненулевое число. Результат умножения всегда является рациональным числом.

Деление: $r_1 : r_2 = \frac{a/b}{c/d}$, при условии, что делитель $r_2$ не равен нулю (то есть $c \neq 0$). Операция равна $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$. Числитель $ad$ — целое число, а знаменатель $bc$ — целое ненулевое число (так как $b \neq 0$ и $c \neq 0$). Следовательно, частное двух рациональных чисел (где делитель не ноль) всегда является рациональным числом.

Таким образом, в результате сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) рациональных чисел всегда получается рациональное число.

Ответ: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль).