Номер 99, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 99, страница 28.

Условие.

Выполните действия (99–100):

99. а) $-\frac{12}{25} + \frac{3}{50}$;

б) $-\frac{11}{48} + \left(-\frac{3}{16}\right)$;

в) $-\frac{5}{27} - \left(-\frac{5}{18}\right)$;

г) $-\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{9}$;

д) $\frac{24}{25} : \frac{4}{5}$;

е) $\frac{71}{78} + \frac{17}{91}$;

ж) $\frac{50}{49} - \frac{15}{56}$;

з) $-\frac{2}{5} \cdot \left(-32\frac{1}{2}\right)$;

и) $-\frac{32}{77} : \frac{64}{55}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сложить дроби $-\frac{12}{25}$ и $\frac{3}{50}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25 и 50 это 50. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$-\frac{12}{25} + \frac{3}{50} = -\frac{12 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{3}{50} = -\frac{24}{50} + \frac{3}{50}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$-\frac{24}{50} + \frac{3}{50} = \frac{-24 + 3}{50} = \frac{-21}{50} = -\frac{21}{50}$

Ответ: $-\frac{21}{50}$

б) Сложение дроби с отрицательной дробью равносильно вычитанию:

$-\frac{11}{48} + (-\frac{3}{16}) = -\frac{11}{48} - \frac{3}{16}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 48 и 16 это 48. Домножим вторую дробь на 3:

$-\frac{11}{48} - \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = -\frac{11}{48} - \frac{9}{48}$

Выполним вычитание:

$\frac{-11 - 9}{48} = \frac{-20}{48}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$-\frac{20}{48} = -\frac{20:4}{48:4} = -\frac{5}{12}$

Ответ: $-\frac{5}{12}$

в) Вычитание отрицательной дроби равносильно сложению:

$-\frac{5}{27} - (-\frac{5}{18}) = -\frac{5}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 27 и 18. Разложим их на простые множители: $27 = 3^3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 54$.

Приведем дроби к знаменателю 54:

$-\frac{5 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = -\frac{10}{54} + \frac{15}{54}$

Сложим числители:

$\frac{-10 + 15}{54} = \frac{5}{54}$

Ответ: $\frac{5}{54}$

г) Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.

$-\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 9}$

Перед умножением сократим дробь. Числитель и знаменатель имеют общий множитель 3:

$-\frac{\cancel{3}^1 \cdot 8}{7 \cdot \cancel{9}^3} = -\frac{1 \cdot 8}{7 \cdot 3} = -\frac{8}{21}$

Ответ: $-\frac{8}{21}$

д) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{24}{25} : \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \cdot \frac{5}{4}$

Сократим общие множители перед умножением. 24 и 4 делятся на 4, а 25 и 5 делятся на 5:

$\frac{\cancel{24}^6}{\cancel{25}^5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}^1} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

е) Для сложения дробей $\frac{71}{78}$ и $\frac{17}{91}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $91 = 7 \cdot 13$.

НОК(78, 91) = $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 546$.

Приведем дроби к знаменателю 546:

$\frac{71 \cdot 7}{78 \cdot 7} + \frac{17 \cdot 6}{91 \cdot 6} = \frac{497}{546} + \frac{102}{546}$

Сложим числители:

$\frac{497 + 102}{546} = \frac{599}{546}$

Дробь несократимая. Преобразуем ее в смешанное число:

$\frac{599}{546} = 1\frac{53}{546}$

Ответ: $1\frac{53}{546}$

ж) Для умножения дробей $\frac{50}{49}$ и $\frac{15}{56}$ перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{50}{49} \cdot \frac{15}{56} = \frac{50 \cdot 15}{49 \cdot 56}$

Сократим общие множители. 50 и 56 имеют общий множитель 2:

$\frac{\cancel{50}^{25} \cdot 15}{49 \cdot \cancel{56}^{28}} = \frac{25 \cdot 15}{49 \cdot 28}$

Больше общих множителей для сокращения нет. Выполним умножение:

$\frac{25 \cdot 15}{49 \cdot 28} = \frac{375}{1372}$

Ответ: $\frac{375}{1372}$

з) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-32\frac{1}{2} = -(\frac{32 \cdot 2 + 1}{2}) = -\frac{65}{2}$

Теперь выполним умножение:

$-\frac{2}{5} \cdot (-\frac{65}{2}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{65}{2}$

Сократим общие множители (2 и 2, 5 и 65):

$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{65}^{13}}{\cancel{2}^1} = \frac{1 \cdot 13}{1 \cdot 1} = 13$

Ответ: $13$

и) При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на обратную ко второй:

$-\frac{32}{77} : \frac{64}{55} = -\frac{32}{77} \cdot \frac{55}{64}$

Сократим общие множители. 32 и 64 делятся на 32; 77 и 55 делятся на 11:

$-\frac{\cancel{32}^1}{\cancel{77}^7} \cdot \frac{\cancel{55}^5}{\cancel{64}^2} = -\frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 2} = -\frac{5}{14}$

Ответ: $-\frac{5}{14}$