Номер 105, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 105, страница 28.

Условие.

105. Запишите в виде рационального числа периодическую дробь:

а) $ -0,\overline{3} $;

б) $ -1,\overline{2} $;

в) $ -2,\overline{5} $;

г) $ -0,\overline{17} $;

д) $ -3,\overline{18} $;

е) $ -1,\overline{05} $;

ж) $ 2,\overline{0} $;

з) $ -0,\overline{0} $;

и) $ 4,37\overline{0} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы перевести чисто периодическую дробь $-0,(3)$ в рациональное число, обозначим ее за $x$.
Пусть $x = -0,(3) = -0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = -3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-3,333...) - (-0,333...)$
$9x = -3$
Отсюда находим $x$:
$x = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Обозначим $x = -1,(2) = -1,222...$.
В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:
$10x = -12,222...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-12,222...) - (-1,222...)$
$9x = -11$
$x = -\frac{11}{9}$
Ответ: $-\frac{11}{9}$

в) Обозначим $x = -2,(5) = -2,555...$.
Умножим на 10, так как в периоде одна цифра:
$10x = -25,555...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-25,555...) - (-2,555...)$
$9x = -23$
$x = -\frac{23}{9}$
Ответ: $-\frac{23}{9}$

г) Обозначим $x = -0,(17) = -0,171717...$.
В периоде две цифры, поэтому умножим на 100:
$100x = -17,171717...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-17,1717...) - (-0,1717...)$
$99x = -17$
$x = -\frac{17}{99}$
Ответ: $-\frac{17}{99}$

д) Обозначим $x = -3,(18) = -3,181818...$.
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = -318,181818...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-318,1818...) - (-3,1818...)$
$99x = -315$
$x = -\frac{315}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = -\frac{315 \div 9}{99 \div 9} = -\frac{35}{11}$
Ответ: $-\frac{35}{11}$

е) Обозначим $x = -1,(05) = -1,050505...$.
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = -105,050505...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-105,0505...) - (-1,0505...)$
$99x = -104$
$x = -\frac{104}{99}$
Ответ: $-\frac{104}{99}$

ж) Периодическая дробь $2,(0)$ представляет собой число $2,000...$, что равно целому числу 2.
Чтобы записать его в виде рационального числа, можно представить его как дробь со знаменателем 1.
$2 = \frac{2}{1}$
Ответ: $2$

з) Периодическая дробь $-0,(0)$ представляет собой число $-0,000...$, что равно нулю.
В виде рационального числа ноль можно записать как $\frac{0}{1}$.
Ответ: $0$

и) Дробь $4,37(0)$ является смешанной периодической дробью, которая фактически является конечной десятичной дробью, так как период равен нулю: $4,37(0) = 4,37000... = 4,37$.
Чтобы представить конечную десятичную дробь в виде рационального числа, запишем ее в виде обыкновенной дроби:
$4,37 = \frac{437}{100}$
Ответ: $\frac{437}{100}$