Номер 108, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.1. Иррациональные числа. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 108, страница 30.

Условие.

108. Какие из данных чисел являются рациональными, какие — иррациональными:

a) $0.275$; $0.\overline{2}$; $1.\overline{32}$;

б) $2.7\overline{1828}$; $3.01234567891011...$; $1.15\overline{45}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для того чтобы определить, какие из чисел являются рациональными, а какие — иррациональными, вспомним их определения. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Десятичное представление рационального числа всегда либо конечное, либо бесконечное периодическое. Иррациональное число, наоборот, нельзя представить в виде такой дроби, и его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

a)

Рассмотрим числа из этого пункта:

• Число 0,275 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Например, $0,275 = \frac{275}{1000} = \frac{11}{40}$. Следовательно, это рациональное число.

• Число 0,(2) — это запись бесконечной периодической дроби $0,2222...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом. Это число можно представить в виде дроби $\frac{2}{9}$. Следовательно, это рациональное число.

• Число 1,323232... — это также бесконечная периодическая дробь, которую можно записать как $1,(32)$. Периодом является группа цифр "32". Так как дробь периодическая, она является рациональным числом. Её можно представить в виде дроби $\frac{131}{99}$.

Ответ: все числа 0,275; 0,(2) и 1,323232... являются рациональными.

б)

Рассмотрим числа из этого пункта:

• Число 2,7(1828) является смешанной периодической десятичной дробью. У нее есть непериодическая часть (7) и период (1828). Все периодические дроби являются рациональными числами.

• Число 3,01234567891011... является бесконечной десятичной дробью. Последовательность цифр после запятой образована последовательной записью натуральных чисел (0, 1, 2, 3, ...). В этой последовательности нет и не может быть повторяющегося блока цифр (периода), так как за любым достаточно длинным набором цифр всегда будет следовать новый, не встречавшийся ранее. Следовательно, это иррациональное число.

• Число 1,15(45) (вопросительный знак в задании, скорее всего, является частью пунктуации вопроса, а не относится к числу) является смешанной периодической десятичной дробью с непериодической частью (15) и периодом (45). Следовательно, это рациональное число.

Ответ: числа 2,7(1828) и 1,15(45) являются рациональными, а число 3,01234567891011... — иррациональным.