Номер 84, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 84, страница 22.

Условие.

84. Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной десятичной дроби? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Любую конечную десятичную дробь или натуральное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Это означает, что число будет иметь бесконечное количество цифр после запятой. Существует два основных способа это сделать.

Способ 1: с периодом 0

Это самый простой и интуитивно понятный способ. К конечной десятичной дроби или натуральному числу (которое можно представить с дробной частью, равной нулю) справа дописывается бесконечное количество нулей. В результате получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, равным 0. Значение числа при этом не меняется.

Примеры:

1. Натуральное число 25. Записываем его как десятичную дробь: $25,0$. Теперь дописываем бесконечное количество нулей: $25,000...$. Это можно записать в виде бесконечной периодической дроби как $25,(0)$.

2. Конечная десятичная дробь 3,14. Дописываем нули в конец: $3,14000...$. В виде периодической дроби это записывается как $3,14(0)$.

Способ 2: с периодом 9

Этот способ менее очевиден, но также математически корректен. Чтобы представить число в виде бесконечной дроби с периодом 9, нужно выполнить следующие действия:
1. Если число целое, уменьшить его на 1. Если число — конечная десятичная дробь, уменьшить на единицу ее последнюю значащую цифру.
2. Приписать к полученному числу бесконечное количество девяток.

Примеры:

1. Натуральное число 25. Уменьшаем его на 1, получаем 24. Дописываем бесконечное количество девяток: $24,999...$. Это можно записать как $24,(9)$. Можно доказать, что $24,(9) = 25$.

2. Конечная десятичная дробь 3,14. Уменьшаем последнюю цифру (4) на 1, получаем 3,13. Дописываем девятки: $3,13999...$. Это можно записать как $3,13(9)$. Можно доказать, что $3,13(9) = 3,14$.

Таким образом, любое натуральное число или конечная десятичная дробь имеет два представления в виде бесконечной десятичной дроби.

Ответ: Чтобы записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной десятичной дроби, можно приписать к нему справа бесконечное количество нулей (получив дробь с периодом 0). Например, натуральное число 5 записывается как $5,000...$ или $5,(0)$, а конечная десятичная дробь 0,67 — как $0,67000...$ или $0,67(0)$. Альтернативно, можно уменьшить последнюю значащую цифру числа на единицу и приписать бесконечное количество девяток (получив дробь с периодом 9). Например, $5 = 4,999... = 4,(9)$, а $0,67 = 0,66999... = 0,66(9)$.