Номер 146, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 146, страница 37.

Условие.

Вычислите (146—147):

146. а) $3,(27) \cdot 5 - 3,(27) \cdot 4;$

б) $5,(21) \cdot 7 + 5,(21) \cdot 3;$

в) $3,(5) \cdot 7,3 - 7,3 \cdot 3,(5);$

г) $2,(7) \cdot 5,41 - 5,41 \cdot 2,(7);$

д) $13,(13) - 13,(13);$

е) $-1 \cdot 3,(51);$

ж) $0 \cdot 5,1234567\dots;$

з) $1 \cdot (-5,1234567\dots);$

и) $1 \cdot \frac{17}{19};$

к) $3 \cdot \frac{1}{3};$

л) $-3,4 \cdot \frac{1}{-3,4};$

м) $-5 \cdot \frac{1}{8};$

н) $11,101101110\dots + (-11,101101110\dots).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В данном выражении можно вынести общий множитель $3,(27)$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - a \cdot b = a \cdot (c - b)$.

$3,(27) \cdot 5 - 3,(27) \cdot 4 = 3,(27) \cdot (5 - 4) = 3,(27) \cdot 1 = 3,(27)$.

Ответ: $3,(27)$.

б) Здесь мы также используем распределительное свойство, но уже относительно сложения: $a \cdot c + a \cdot b = a \cdot (c + b)$. Вынесем общий множитель $5,(21)$ за скобки.

$5,(21) \cdot 7 + 5,(21) \cdot 3 = 5,(21) \cdot (7 + 3) = 5,(21) \cdot 10$.

Умножение периодической дроби на 10 сдвигает десятичную запятую на один знак вправо: $5,212121... \cdot 10 = 52,121212... = 52,(12)$.

Ответ: $52,(12)$.

в) Это выражение иллюстрирует переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).

Пусть $a = 3,(5)$ и $b = 7,3$. Выражение имеет вид $a \cdot b - b \cdot a$. Так как $a \cdot b = b \cdot a$, то $a \cdot b - b \cdot a = a \cdot b - a \cdot b = 0$.

$3,(5) \cdot 7,3 - 7,3 \cdot 3,(5) = 0$.

Ответ: $0$.

г) Аналогично предыдущему пункту, используется переместительное свойство умножения.

Пусть $a = 2,(7)$ и $b = 5,41$. Выражение имеет вид $a \cdot b - b \cdot a$, что равно нулю.

$2,(7) \cdot 5,41 - 5,41 \cdot 2,(7) = 0$.

Ответ: $0$.

д) Вычитание числа из самого себя.

$13,(13) - 13,(13) = 0$.

Ответ: $0$.

е) Умножение числа на $-1$ меняет его знак на противоположный.

$-1 \cdot 3,(51) = -3,(51)$.

Ответ: $-3,(51)$.

ж) Произведение любого числа на ноль равно нулю.

$0 \cdot 5,1234567... = 0$.

Ответ: $0$.

з) Умножение числа на $1$ не изменяет это число (свойство единицы как нейтрального элемента для умножения).

$1 \cdot (-5,1234567...) = -5,1234567...$

Ответ: $-5,1234567...$

и) Умножение числа на $1$ не изменяет это число.

$1 \cdot \frac{17}{19} = \frac{17}{19}$.

Ответ: $\frac{17}{19}$.

к) Умножение числа на обратное ему число (взаимно обратные числа). Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

$3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Ответ: $1$.

л) Умножение ненулевого числа на обратное ему число. Результат всегда равен $1$.

$-3,4 \cdot \frac{1}{-3,4} = 1$.

Ответ: $1$.

м) Простое умножение целого числа на дробь.

$-5 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 8} = -\frac{5}{8}$.

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $-\frac{5}{8} = -0,625$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

н) Сложение числа с противоположным ему числом. Сумма противоположных чисел равна нулю.

Пусть $a = 11,101101110...$. Выражение имеет вид $a + (-a)$, что равно $0$.

$11,101101110... + (-11,101101110...) = 0$.

Ответ: $0$.